Номер 41.69, страница 246, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.69. Строится мост параболической формы, соединяющий пункты $A$ и $B$, расстояние между которыми равно $200 \text{ м}$. Въезд на мост и съезд с моста должны быть прямолинейными участками пути, эти участки направлены к горизонту под углом $15^\circ$. Указанные прямые должны быть касательными к параболе. Составьте уравнение профиля моста в заданной системе координат (рис. 89).

Рис. 89

Профиль моста представляет собой параболу. Согласно предоставленной системе координат, вершина параболы находится в начале координат (0, 0), а ее ветви направлены вниз. Общее уравнение такой параболы имеет вид:

$y = ax^2$, где коэффициент $a < 0$.

Расстояние между точками A и B, в которых прямолинейные участки сопрягаются с параболой, равно 200 м. В силу симметрии параболы относительно оси OY, абсциссы этих точек равны $x_A = -100$ м и $x_B = 100$ м.

Прямолинейные участки въезда и съезда являются касательными к параболе в точках A и B. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$ в этой точке.

Найдем производную функции $y = ax^2$:

$y' = (ax^2)' = 2ax$.

Указано, что касательные направлены к горизонту под углом 15°. Рассмотрим касательную в точке B с абсциссой $x_B = 100$. Из рисунка видно, что эта касательная образует с положительным направлением оси OX тупой угол, и ее наклон отрицателен. Угол, который она составляет с осью OX, равен $180^\circ - 15^\circ = 165^\circ$. Следовательно, ее угловой коэффициент $k$ равен:

$k = \tan(165^\circ) = \tan(180^\circ - 15^\circ) = -\tan(15^\circ)$.

С другой стороны, угловой коэффициент касательной в точке B ($x_B = 100$) равен значению производной в этой точке:

$y'(100) = 2a \cdot 100 = 200a$.

Приравнивая два выражения для углового коэффициента, получаем уравнение для нахождения параметра $a$:

$200a = -\tan(15^\circ)$

Отсюда $a = -\frac{\tan(15^\circ)}{200}$.

Для нахождения точного значения $\tan(15^\circ)$ воспользуемся формулой тангенса разности углов $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$:

$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3-\sqrt{3})$:

$\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{(3-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$.

Итак, $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь можем найти значение коэффициента $a$:

$a = -\frac{2 - \sqrt{3}}{200}$.

Подставив найденный коэффициент $a$ в исходное уравнение параболы, получаем искомое уравнение профиля моста:

$y = -\frac{2 - \sqrt{3}}{200} x^2$.

Ответ: $y = -\frac{2 - \sqrt{3}}{200} x^2$.