Номер 41.68, страница 245, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.68. а) Докажите, что функция $y = x \sin x$ удовлетворяет соотношению $y'' + y = 2 \cos x$;

б) докажите, что при любых значениях $a$ и $b$ функция $y = a \sin x + b \cos x$ удовлетворяет соотношению $y'' + y = 0$.

а)

Для того чтобы доказать, что функция $y = x \sin x$ удовлетворяет соотношению $y'' + y = 2 \cos x$, необходимо найти первую и вторую производные этой функции и подставить их в данное уравнение.

1. Находим первую производную $y'$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x \sin x)' = (x)' \cdot \sin x + x \cdot (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.

2. Находим вторую производную $y''$, продифференцировав $y'$:

$y'' = (\sin x + x \cos x)' = (\sin x)' + (x \cos x)'$.

Для второго слагаемого снова применяем правило дифференцирования произведения:

$y'' = \cos x + ((x)' \cdot \cos x + x \cdot (\cos x)') = \cos x + (1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x)) = \cos x + \cos x - x \sin x = 2 \cos x - x \sin x$.

3. Теперь подставляем полученные выражения для $y''$ и $y$ в левую часть исходного соотношения $y'' + y$:

$y'' + y = (2 \cos x - x \sin x) + (x \sin x)$.

Упрощаем выражение:

$2 \cos x - x \sin x + x \sin x = 2 \cos x$.

Мы получили, что левая часть уравнения $y'' + y$ равна $2 \cos x$, что совпадает с правой частью. Следовательно, функция удовлетворяет данному соотношению.

Ответ: Доказано, что функция $y = x \sin x$ удовлетворяет соотношению $y'' + y = 2 \cos x$.

б)

Для того чтобы доказать, что при любых значениях констант $a$ и $b$ функция $y = a \sin x + b \cos x$ удовлетворяет соотношению $y'' + y = 0$, также найдем ее первую и вторую производные.

1. Находим первую производную $y'$:

$y' = (a \sin x + b \cos x)' = a(\sin x)' + b(\cos x)' = a \cos x - b \sin x$.

2. Находим вторую производную $y''$:

$y'' = (a \cos x - b \sin x)' = a(\cos x)' - b(\sin x)' = a(-\sin x) - b(\cos x) = -a \sin x - b \cos x$.

Вторую производную можно также записать как $y'' = -(a \sin x + b \cos x)$, что равно $-y$.

3. Подставляем выражения для $y''$ и $y$ в левую часть соотношения $y'' + y$:

$y'' + y = (-a \sin x - b \cos x) + (a \sin x + b \cos x)$.

Упрощаем выражение, сокращая взаимно противоположные слагаемые:

$(-a \sin x + a \sin x) + (-b \cos x + b \cos x) = 0 + 0 = 0$.

Мы получили, что левая часть уравнения $y'' + y$ равна $0$, что совпадает с правой частью. Это равенство выполняется для любых значений $a$ и $b$.

Ответ: Доказано, что при любых значениях $a$ и $b$ функция $y = a \sin x + b \cos x$ удовлетворяет соотношению $y'' + y = 0$.