Номер 41.64, страница 245, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.64. Найдите вторую производную функции:

а) $y = x^4 + 2x;$

б) $y = x^5 - 3x;$

в) $y = \sin x + 1;$

г) $y = 2 \cos x - 4.$

а) Дана функция $y = x^4 + 2x$.
Чтобы найти вторую производную функции, необходимо сначала найти её первую производную, а затем найти производную от полученного результата.
Найдем первую производную $y'$, используя правило дифференцирования суммы и степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = (x^4 + 2x)' = (x^4)' + (2x)' = 4x^{4-1} + 2 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 4x^3 + 2$.
Теперь найдем вторую производную $y''$, взяв производную от первой производной $y'$:
$y'' = (y')' = (4x^3 + 2)' = (4x^3)' + (2)'$.
Производная от константы $(2)'$ равна нулю. Получаем:
$y'' = 4 \cdot 3x^{3-1} + 0 = 12x^2$.
Ответ: $y'' = 12x^2$.

б) Дана функция $y = x^5 - 3x$.
Сначала найдем первую производную $y'$:
$y' = (x^5 - 3x)' = (x^5)' - (3x)' = 5x^{5-1} - 3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 5x^4 - 3$.
Затем найдем вторую производную $y''$, дифференцируя $y'$:
$y'' = (y')' = (5x^4 - 3)' = (5x^4)' - (3)'$.
Производная от константы $(3)'$ равна нулю. Следовательно:
$y'' = 5 \cdot 4x^{4-1} - 0 = 20x^3$.
Ответ: $y'' = 20x^3$.

в) Дана функция $y = \sin x + 1$.
Найдем первую производную $y'$, используя правило для производной синуса $(\sin x)' = \cos x$ и производной константы:
$y' = (\sin x + 1)' = (\sin x)' + (1)' = \cos x + 0 = \cos x$.
Теперь найдем вторую производную $y''$, дифференцируя $y' = \cos x$. Используем правило для производной косинуса $(\cos x)' = -\sin x$:
$y'' = (y')' = (\cos x)' = -\sin x$.
Ответ: $y'' = -\sin x$.

г) Дана функция $y = 2\cos x - 4$.
Найдем первую производную $y'$, используя правило для производной косинуса и правило дифференцирования константы, умноженной на функцию:
$y' = (2\cos x - 4)' = (2\cos x)' - (4)' = 2(\cos x)' - 0 = 2(-\sin x) = -2\sin x$.
Далее найдем вторую производную $y''$, взяв производную от $y' = -2\sin x$:
$y'' = (y')' = (-2\sin x)' = -2(\sin x)' = -2\cos x$.
Ответ: $y'' = -2\cos x$.