Номер 41.58, страница 244, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.58. Укажите, какой формулой можно задать функцию

$y = f(x)$, если:

а) $f'(x) = 2x$;

б) $f'(x) = \cos x$;

в) $f'(x) = 3$;

г) $f'(x) = -\sin x$.

а) Чтобы найти функцию $y = f(x)$, зная ее производную $f'(x) = 2x$, необходимо выполнить операцию, обратную дифференцированию, то есть найти первообразную (неопределенный интеграл).
$f(x) = \int f'(x) \,dx = \int 2x \,dx$.
Используя формулу для интеграла степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:
$f(x) = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Следовательно, любую функцию, удовлетворяющую условию, можно задать этой формулой.
Ответ: $y = x^2 + C$.

б) Требуется найти функцию $f(x)$, производная которой равна $f'(x) = \cos x$. Для этого найдем неопределенный интеграл от $\cos x$.
$f(x) = \int \cos x \,dx$.
Согласно таблице основных интегралов, первообразной для функции $\cos x$ является $\sin x$. Таким образом:
$f(x) = \sin x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Это общая формула для всех функций, имеющих заданную производную.
Ответ: $y = \sin x + C$.

в) Дана производная $f'(x) = 3$. Чтобы найти исходную функцию $f(x)$, необходимо проинтегрировать данное выражение.
$f(x) = \int 3 \,dx$.
Интеграл от константы равен произведению этой константы на переменную интегрирования, плюс константа интегрирования:
$f(x) = 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Эта формула задает все функции с производной, равной 3.
Ответ: $y = 3x + C$.

г) Требуется найти функцию $f(x)$ по её производной $f'(x) = -\sin x$. Вычислим соответствующий неопределенный интеграл.
$f(x) = \int (-\sin x) \,dx = - \int \sin x \,dx$.
Из таблицы основных интегралов известно, что первообразная для функции $\sin x$ равна $-\cos x$. Следовательно:
$f(x) = -(-\cos x) + C = \cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Таким образом, искомая функция задается этой формулой.
Ответ: $y = \cos x + C$.