Номер 41.55, страница 244, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.55. При каких значениях аргумента скорость изменения функции $y = g(x)$ больше скорости изменения функции $y = h(x):$

a) $g(x) = x^3 - 3x^2$, $h(x) = 1.5x^2 - 9$;

б) $g(x) = \text{tg } x$, $h(x) = 4x - 81$?

Скорость изменения функции в точке характеризуется ее производной. Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых скорость изменения функции $y = g(x)$ больше скорости изменения функции $y = h(x)$, необходимо решить неравенство $g'(x) > h'(x)$.

a) $g(x) = x^3 - 3x^2$, $h(x) = 1,5x^2 - 9$

1. Найдем производные функций $g(x)$ и $h(x)$:

$g'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$

$h'(x) = (1,5x^2 - 9)' = 1,5 \cdot 2x = 3x$

2. Составим и решим неравенство $g'(x) > h'(x)$:

$3x^2 - 6x > 3x$

$3x^2 - 9x > 0$

Разделим обе части на 3:

$x^2 - 3x > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 3) > 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $x(x - 3) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$.

Парабола $y = x^2 - 3x$ ветвями направлена вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Следовательно, неравенство выполняется при $x < 0$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.

б) $g(x) = \operatorname{tg} x$, $h(x) = 4x - 81$

1. Найдем производные функций $g(x)$ и $h(x)$:

$g'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

$h'(x) = (4x - 81)' = 4$

Область определения функции $g(x) = \operatorname{tg} x$ и ее производной: все $x$, для которых $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Составим и решим неравенство $g'(x) > h'(x)$:

$\frac{1}{\cos^2 x} > 4$

Так как в области определения $\cos^2 x > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $\cos^2 x$, не меняя знака неравенства:

$1 > 4\cos^2 x$

$\cos^2 x < \frac{1}{4}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|\cos x| < \frac{1}{2}$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$-\frac{1}{2} < \cos x < \frac{1}{2}$

3. Решим это неравенство. На единичной окружности этому условию соответствуют дуги, где абсцисса (косинус) находится между $-1/2$ и $1/2$. Решением являются интервалы, которые можно обобщить формулой:

$x \in (\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Учтем область определения. Мы должны исключить из решения точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Заметим, что для любого целого $k$ выполняется неравенство $\frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{2\pi}{3} + \pi k$. Это означает, что каждая точка вида $\frac{\pi}{2} + \pi k$ попадает внутрь одного из найденных интервалов. Поэтому каждый интервал решения нужно разделить на два в этой точке.

Таким образом, решение представляет собой объединение интервалов:

$(\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k) \cup (\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k) \cup (\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.