Номер 41.53, страница 244, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

При каких значениях аргумента скорость изменения функции $y = f(x)$ равна скорости изменения функции $y = g(x)$:

41.53. a) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$, $g(x) = 7,5x^2 - 16x;

б) $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = \frac{-1}{x}$?

а) Скорость изменения функции — это ее производная. Чтобы найти значения аргумента, при которых скорости изменения функций $f(x)$ и $g(x)$ равны, необходимо найти их производные и приравнять их, то есть решить уравнение $f'(x) = g'(x)$.
Даны функции: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$ и $g(x) = 7,5x^2 - 16x$.
1. Находим производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 2x^{2-1} = x^2 - 2x$.
2. Находим производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (7,5x^2 - 16x)' = 7,5 \cdot 2x^{2-1} - 16x^{1-1} = 15x - 16$.
3. Приравниваем производные и решаем полученное уравнение:
$f'(x) = g'(x)$
$x^2 - 2x = 15x - 16$
$x^2 - 2x - 15x + 16 = 0$
$x^2 - 17x + 16 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 15}{2}$.
$x_1 = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$.
Скорости изменения функций равны при значениях аргумента $x=1$ и $x=16$.
Ответ: 1; 16.

б) Даны функции: $f(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = \frac{-1}{x}$.
1. Находим производную функции $f(x)$. Представим функцию в виде $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$.
$f'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Область определения производной $f'(x)$ — $x > 0$.
2. Находим производную функции $g(x)$. Представим функцию в виде $g(x) = -x^{-1}$.
$g'(x) = (-x^{-1})' = -(-1)x^{-1-1} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
Область определения производной $g'(x)$ — $x \ne 0$.
Общая область определения для уравнения $f'(x) = g'(x)$ — $x > 0$.
3. Приравниваем производные и решаем уравнение:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{x^2}$
Так как $x>0$, то $x^2 \ne 0$ и $2\sqrt{x} \ne 0$. Можем использовать свойство пропорции:
$x^2 = 2\sqrt{x}$
Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x^2)^2 = (2\sqrt{x})^2$
$x^4 = 4x$
$x^4 - 4x = 0$
$x(x^3 - 4) = 0$
Получаем два возможных решения: $x=0$ или $x^3 - 4 = 0$.
Первое решение $x=0$ не входит в область определения $x > 0$, поэтому оно является посторонним корнем.
Решаем второе уравнение:
$x^3 = 4$
$x = \sqrt[3]{4}$
Данное значение удовлетворяет условию $x > 0$.
Ответ: $\sqrt[3]{4}$.