Номер 41.47, страница 243, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.47. При каких значениях $a$ касательные к графикам функций $y = f(x)$, $y = h(x)$ в точке $x = a$ не имеют общих точек:

a) $f(x) = x^7$, $h(x) = x^8$;

б) $f(x) = x^2 + x + 3$, $h(x) = x^3$?

Две касательные не имеют общих точек, если они параллельны, но не совпадают. Уравнение касательной к графику функции $g(x)$ в точке $x_0 = a$ имеет вид: $y = g(a) + g'(a)(x - a)$. Перепишем его в виде $y = kx + b$, где $k$ - угловой коэффициент, а $b$ - свободный член: $y = g'(a)x + (g(a) - a \cdot g'(a))$.

Для того чтобы две касательные, проведенные к графикам функций $f(x)$ и $h(x)$ в точке $x = a$, были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны: $f'(a) = h'(a)$.

Для того чтобы эти касательные не совпадали, их свободные члены должны быть различны: $f(a) - a \cdot f'(a) \neq h(a) - a \cdot h'(a)$. Учитывая, что $f'(a) = h'(a)$, это неравенство упрощается до: $f(a) \neq h(a)$.

Таким образом, нам нужно найти такие значения $a$, которые удовлетворяют системе условий: $$ \begin{cases} f'(a) = h'(a) \\ f(a) \neq h(a) \end{cases} $$

а) $f(x) = x^7, h(x) = x^8$

1. Находим производные функций: $f'(x) = (x^7)' = 7x^6$ $h'(x) = (x^8)' = 8x^7$

2. Приравниваем значения производных в точке $x = a$ для нахождения условия параллельности: $f'(a) = h'(a) \Rightarrow 7a^6 = 8a^7$ $8a^7 - 7a^6 = 0$ $a^6(8a - 7) = 0$ Это уравнение имеет два решения: $a = 0$ и $a = \frac{7}{8}$.

3. Проверяем для каждого найденного значения $a$ условие несовпадения касательных $f(a) \neq h(a)$.

Для $a = 0$: $f(0) = 0^7 = 0$ $h(0) = 0^8 = 0$ Так как $f(0) = h(0)$, касательные в этой точке совпадают (обе имеют уравнение $y=0$), а значит, имеют бесконечно много общих точек. Это значение не является решением.

Для $a = \frac{7}{8}$: $f(\frac{7}{8}) = (\frac{7}{8})^7$ $h(\frac{7}{8}) = (\frac{7}{8})^8$ Поскольку $\frac{7}{8} \neq 1$ и $\frac{7}{8} \neq 0$, то $(\frac{7}{8})^7 \neq (\frac{7}{8})^8$. Условие $f(a) \neq h(a)$ выполняется.

Ответ: $a = \frac{7}{8}$.

б) $f(x) = x^2 + x + 3, h(x) = x^3$

1. Находим производные функций: $f'(x) = (x^2 + x + 3)' = 2x + 1$ $h'(x) = (x^3)' = 3x^2$

2. Приравниваем значения производных в точке $x = a$: $f'(a) = h'(a) \Rightarrow 2a + 1 = 3a^2$ $3a^2 - 2a - 1 = 0$

3. Решаем полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$. Корни уравнения: $a_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ $a_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

4. Проверяем для каждого найденного значения $a$ условие $f(a) \neq h(a)$.

Для $a = 1$: $f(1) = 1^2 + 1 + 3 = 5$ $h(1) = 1^3 = 1$ Так как $5 \neq 1$, условие $f(1) \neq h(1)$ выполняется.

Для $a = -\frac{1}{3}$: $f(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^2 + (-\frac{1}{3}) + 3 = \frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{27}{9} = \frac{25}{9}$ $h(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1}{27}$ Так как $\frac{25}{9} \neq -\frac{1}{27}$, условие $f(-\frac{1}{3}) \neq h(-\frac{1}{3})$ выполняется.

Ответ: $a = -\frac{1}{3}, a = 1$.