Номер 41.45, страница 243, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.45. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $y = h(x)$ образует острый угол с положительным направлением оси $x$, если:

а) $h(x) = x^3 - 3x^2 + 1;$

б) $h(x) = 4\sqrt{x} - x;$

в) $h(x) = x^3 - x^4 - 19;$

г) $h(x) = tg x - 4x.$

Касательная к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ образует острый угол с положительным направлением оси $x$, если ее угловой коэффициент положителен. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания, $k = h'(x_0)$. Таким образом, условие задачи сводится к решению неравенства $h'(x) > 0$ для каждой из предложенных функций с учетом ее области определения.

а) $h(x) = x^3 - 3x^2 + 1$

1. Найдем производную функции:

$h'(x) = (x^3 - 3x^2 + 1)' = 3x^2 - 6x$

2. Решим неравенство $h'(x) > 0$:

$3x^2 - 6x > 0$

$3x(x - 2) > 0$

Корнями уравнения $3x(x - 2) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на промежутках вне корней.

$x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$

Функция определена на всей числовой оси, поэтому найденные промежутки являются решением.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.

б) $h(x) = 4\sqrt{x} - x$

1. Область определения функции: $x \ge 0$.

2. Найдем производную функции:

$h'(x) = (4\sqrt{x} - x)' = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = \frac{2}{\sqrt{x}} - 1$

Производная определена при $x > 0$.

3. Решим неравенство $h'(x) > 0$ на области определения производной:

$\frac{2}{\sqrt{x}} - 1 > 0$

$\frac{2}{\sqrt{x}} > 1$

Поскольку $\sqrt{x} > 0$, можно умножить обе части неравенства на $\sqrt{x}$:

$2 > \sqrt{x}$

Возведем обе части в квадрат (так как они неотрицательны):

$4 > x$

4. Учитывая, что производная определена при $x > 0$, получаем итоговое решение:

$0 < x < 4$

Ответ: $x \in (0, 4)$.

в) $h(x) = x^3 - x^4 - 19$

1. Найдем производную функции:

$h'(x) = (x^3 - x^4 - 19)' = 3x^2 - 4x^3$

2. Решим неравенство $h'(x) > 0$:

$3x^2 - 4x^3 > 0$

$x^2(3 - 4x) > 0$

Так как $x^2 \ge 0$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы $x^2 \ne 0$ и $3 - 4x > 0$.

Из $x^2 \ne 0$ следует $x \ne 0$.

Из $3 - 4x > 0$ следует $3 > 4x$, то есть $x < \frac{3}{4}$.

Объединяя условия, получаем $x < \frac{3}{4}$ и $x \ne 0$.

$x \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4})$

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4})$.

г) $h(x) = \tg x - 4x$

1. Область определения функции: $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем производную функции:

$h'(x) = (\tg x - 4x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 4$

3. Решим неравенство $h'(x) > 0$:

$\frac{1}{\cos^2 x} - 4 > 0$

$\frac{1}{\cos^2 x} > 4$

Так как $\cos^2 x > 0$ на области определения, получаем:

$1 > 4\cos^2 x$

$\cos^2 x < \frac{1}{4}$

Это равносильно $|\cos x| < \frac{1}{2}$, или $-\frac{1}{2} < \cos x < \frac{1}{2}$.

Решением этого двойного неравенства являются интервалы:

$\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4. Учтем область определения функции. Точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ не входят в область определения. Для любого целого $n$ выполняется $\frac{\pi}{3} + \pi n < \frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{2\pi}{3} + \pi n$, поэтому эти точки нужно исключить из найденных интервалов.

Таким образом, каждый интервал решения разбивается на два:

$x \in (\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n) \cup (\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{2\pi}{3} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n) \cup (\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{2\pi}{3} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.