Номер 41.39, страница 242, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.39. a) $f(x) = \sqrt{x} - x, k = 1;$

б) $f(x) = \sqrt{x} + 3x, k = 4.$

а)

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{x} - x$ с заданным угловым коэффициентом $k=1$.

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{x} - x)' = (x^{\frac{1}{2}} - x)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - 1 = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$.

2. Найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв производную к заданному угловому коэффициенту $k=1$:

$f'(x_0) = 1$

$\frac{1}{2\sqrt{x_0}} - 1 = 1$

$\frac{1}{2\sqrt{x_0}} = 2$

$1 = 4\sqrt{x_0}$

$\sqrt{x_0} = \frac{1}{4}$

Возведя обе части в квадрат, получаем:

$x_0 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$.

3. Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0$ в исходную функцию:

$y_0 = f(x_0) = f(\frac{1}{16}) = \sqrt{\frac{1}{16}} - \frac{1}{16} = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{4}{16} - \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$.

4. Теперь, зная точку касания $(\frac{1}{16}, \frac{3}{16})$ и угловой коэффициент $k=1$, составим уравнение касательной:

$y = f(x_0) + k(x - x_0)$

$y = \frac{3}{16} + 1 \cdot \left(x - \frac{1}{16}\right)$

$y = \frac{3}{16} + x - \frac{1}{16}$

$y = x + \frac{2}{16}$

$y = x + \frac{1}{8}$.

Ответ: $y = x + \frac{1}{8}$.

б)

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{x} + 3x$ с заданным угловым коэффициентом $k=4$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{x} + 3x)' = (x^{\frac{1}{2}} + 3x)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 3 = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 3$.

2. Найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв производную к заданному угловому коэффициенту $k=4$:

$f'(x_0) = 4$

$\frac{1}{2\sqrt{x_0}} + 3 = 4$

$\frac{1}{2\sqrt{x_0}} = 1$

$1 = 2\sqrt{x_0}$

$\sqrt{x_0} = \frac{1}{2}$

Возведя обе части в квадрат, получаем:

$x_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

3. Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0$ в исходную функцию:

$y_0 = f(x_0) = f(\frac{1}{4}) = \sqrt{\frac{1}{4}} + 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$.

4. Теперь, зная точку касания $(\frac{1}{4}, \frac{5}{4})$ и угловой коэффициент $k=4$, составим уравнение касательной:

$y = f(x_0) + k(x - x_0)$

$y = \frac{5}{4} + 4 \left(x - \frac{1}{4}\right)$

$y = \frac{5}{4} + 4x - 4 \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{5}{4} + 4x - 1$

$y = 4x + \frac{5}{4} - \frac{4}{4}$

$y = 4x + \frac{1}{4}$.

Ответ: $y = 4x + \frac{1}{4}$.