Номер 41.44, страница 243, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.44. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $y = h(x)$ образует с положительным направлением оси абсцисс заданный угол $\alpha$:

а) $h(x) = x^2 - 3x + 19, \alpha = 45^{\circ}$;

б) $h(x) = \frac{4}{x+2}, \alpha = 135^{\circ}$.

Значение производной функции $h(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент $k$ касательной, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который она образует с положительным направлением оси абсцисс. Таким образом, для нахождения искомых абсцисс необходимо решить уравнение $h'(x) = \tan(\alpha)$.

а)

Дана функция $h(x) = x^2 - 3x + 19$ и угол $\alpha = 45^\circ$.

1. Найдем производную функции $h(x)$:
$h'(x) = (x^2 - 3x + 19)' = 2x - 3$.

2. Найдем тангенс угла наклона:
$k = \tan(\alpha) = \tan(45^\circ) = 1$.

3. Приравняем производную к значению тангенса и решим уравнение относительно $x$:
$h'(x) = 1$
$2x - 3 = 1$
$2x = 1 + 3$
$2x = 4$
$x = 2$.

Ответ: 2.

б)

Дана функция $h(x) = \frac{4}{x + 2}$ и угол $\alpha = 135^\circ$.

1. Найдем производную функции $h(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ или представив функцию в виде $h(x) = 4(x+2)^{-1}$:
$h'(x) = (4(x+2)^{-1})' = 4 \cdot (-1) \cdot (x+2)^{-1-1} \cdot (x+2)' = -4(x+2)^{-2} = -\frac{4}{(x+2)^2}$.

2. Найдем тангенс угла наклона:
$k = \tan(\alpha) = \tan(135^\circ) = -1$.

3. Приравняем производную к значению тангенса и решим уравнение относительно $x$:
$h'(x) = -1$
$-\frac{4}{(x+2)^2} = -1$
$\frac{4}{(x+2)^2} = 1$
$(x+2)^2 = 4$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два случая:
$x + 2 = 2$ или $x + 2 = -2$.
В первом случае: $x_1 = 2 - 2 = 0$.
Во втором случае: $x_2 = -2 - 2 = -4$.

Оба найденных значения входят в область определения функции ($x \neq -2$).

Ответ: -4; 0.