Номер 41.51, страница 243, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите неравенство $f'(x) > 0$:

41.51. a) $f(x) = x^3 + x^4$;

б) $f(x) = \frac{4}{2 - 5x}$.

а)

Дана функция $f(x) = x^3 + x^4$.

Сначала найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^3 + x^4)' = (x^3)' + (x^4)' = 3x^2 + 4x^3$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$3x^2 + 4x^3 > 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(3 + 4x) > 0$

Выражение $x^2$ неотрицательно при любых значениях $x$. Так как неравенство строгое, то $x^2$ не может быть равно нулю, следовательно, $x \neq 0$. При $x \neq 0$ множитель $x^2$ всегда положителен.

Поэтому, чтобы произведение было положительным, второй множитель также должен быть положителен:

$3 + 4x > 0$

$4x > -3$

$x > - \frac{3}{4}$

Объединяя условия $x > - \frac{3}{4}$ и $x \neq 0$, получаем решение в виде объединения двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\frac{3}{4}, 0) \cup (0, +\infty)$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{4}{2-5x}$.

Найдем ее производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В нашем случае $u=4$ и $v=2-5x$.

$f'(x) = \left(\frac{4}{2 - 5x}\right)' = \frac{(4)'(2 - 5x) - 4(2 - 5x)'}{(2 - 5x)^2} = \frac{0 \cdot (2 - 5x) - 4(-5)}{(2 - 5x)^2} = \frac{20}{(2 - 5x)^2}$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\frac{20}{(2 - 5x)^2} > 0$

Числитель дроби, 20, является положительным числом. Знаменатель дроби, $(2 - 5x)^2$, является квадратом выражения и всегда положителен для всех значений $x$, при которых он определен (т.е. не равен нулю).

Найдем значение $x$, при котором знаменатель равен нулю:

$2 - 5x = 0 \implies 5x = 2 \implies x = \frac{2}{5}$.

При $x = \frac{2}{5}$ производная не определена. При всех остальных значениях $x$ знаменатель $(2 - 5x)^2$ строго положителен. Таким образом, дробь $\frac{20}{(2 - 5x)^2}$ (отношение положительного числа к положительному) будет всегда положительной.

Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из области определения производной.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, +\infty)$.