Номер 41.50, страница 243, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.50. a) $f(x) = \sin 2x;$

б) $f(x) = -4 \cos x + 2x.$

а)

Задача состоит в нахождении первообразной для функции $f(x) = \sin(2x)$.

Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем интегрирования: $F(x) = \int f(x) dx$.

Воспользуемся табличной формулой для интегрирования синуса от линейного аргумента: $\int \sin(kx+b) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

В нашем случае функция $f(x) = \sin(2x)$, где коэффициент $k=2$ и сдвиг $b=0$.

Подставляем значения в формулу:

$F(x) = \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$.

Проверим результат дифференцированием:
$F'(x) = (-\frac{1}{2}\cos(2x) + C)' = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin(2x)) \cdot (2x)' = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 = \sin(2x) = f(x)$.
Результат верен.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$.

б)

Задача состоит в нахождении первообразной для функции $f(x) = -4\cos x + 2x$.

Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных. Поэтому найдем первообразную для каждого слагаемого отдельно.

$F(x) = \int (-4\cos x + 2x) dx = \int (-4\cos x) dx + \int (2x) dx$.

1. Найдем первообразную для первого слагаемого $-4\cos x$.
Используем свойство $\int a \cdot g(x) dx = a \cdot \int g(x) dx$ и табличную первообразную для $\cos x$, которая равна $\sin x$.
$\int (-4\cos x) dx = -4 \int \cos x dx = -4\sin x$.

2. Найдем первообразную для второго слагаемого $2x$.
Используем формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. В данном случае $n=1$.
$\int 2x dx = 2 \int x^1 dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$.

3. Сложим полученные результаты и добавим общую произвольную постоянную $C$.
$F(x) = -4\sin x + x^2 + C$.

Проверим результат дифференцированием:
$F'(x) = (-4\sin x + x^2 + C)' = (-4\sin x)' + (x^2)' + (C)' = -4\cos x + 2x + 0 = -4\cos x + 2x = f(x)$.
Результат верен.

Ответ: $F(x) = x^2 - 4\sin x + C$.