Номер 41.43, страница 242, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.43. a) $f(x) = x^2 \sin x$, $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = ?$

б) $f(x) = x(1 + \cos x)$, $f'(\pi) = ?$

в) $f(x) = \sqrt{3}\sin x + \frac{x^2}{\pi} + x\sin\frac{\pi}{6}$, $f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = ?$

г) $f(x) = \sqrt{3}\cos x - x\cos\frac{\pi}{6} + \frac{x^2}{\pi}$, $f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = ?$

Для решения этих задач воспользуемся правилами дифференцирования суммы и произведения $(uv)' = u'v + uv'$, а также значениями производных тригонометрических функций: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.

а) $f(x) = x^2 \sin x$

Применяем правило производной произведения:

$f'(x) = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x$

Подставим $x = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{2} + (\frac{\pi}{2})^2 \cdot \cos \frac{\pi}{2}$

Так как $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, а $\cos \frac{\pi}{2} = 0$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = \pi \cdot 1 + \frac{\pi^2}{4} \cdot 0 = \pi$

Ответ: $\pi$

б) $f(x) = x(1 + \cos x)$

$f'(x) = (x)'(1 + \cos x) + x(1 + \cos x)' = 1 \cdot (1 + \cos x) + x(0 - \sin x) = 1 + \cos x - x \sin x$

Подставим $x = \pi$:

$f'(\pi) = 1 + \cos \pi - \pi \sin \pi$

Учитывая, что $\cos \pi = -1$, а $\sin \pi = 0$:

$f'(\pi) = 1 + (-1) - \pi \cdot 0 = 0$

Ответ: $0$

в) $f(x) = \sqrt{3}\sin x + \frac{x^2}{\pi} + x\sin\frac{\pi}{6}$

Заметим, что $\sin\frac{\pi}{6} = 0,5$ — это константа. Уравнение принимает вид: $f(x) = \sqrt{3}\sin x + \frac{1}{\pi}x^2 + 0,5x$.

$f'(x) = \sqrt{3}\cos x + \frac{2x}{\pi} + 0,5$

Подставим $x = \frac{\pi}{6}$:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}\cos \frac{\pi}{6} + \frac{2 \cdot \frac{\pi}{6}}{\pi} + 0,5 = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Ответ: $2\frac{1}{3}$ (или $\frac{7}{3}$)

г) $f(x) = \sqrt{3}\cos x - x\cos\frac{\pi}{6} + \frac{x^2}{\pi}$

Здесь $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $f(x) = \sqrt{3}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{\pi}x^2$.

$f'(x) = -\sqrt{3}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2x}{\pi}$

Подставим $x = \frac{\pi}{3}$:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}\sin \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 \cdot \frac{\pi}{3}}{\pi} = -\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{3} = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{3}$

Приведем к общему знаменателю $6$: $-\frac{9}{6} - \frac{3\sqrt{3}}{6} + \frac{4}{6} = \frac{-5 - 3\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{-5 - 3\sqrt{3}}{6}$