Номер 41.43, страница 242, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.43. a) $f(x) = x^2 \sin x$, $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = ?$

б) $f(x) = x(1 + \cos x)$, $f'(\pi) = ?$

в) $f(x) = \sqrt{3}\sin x + \frac{x^2}{\pi} + x\sin\frac{\pi}{6}$, $f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = ?$

г) $f(x) = \sqrt{3}\cos x - x\cos\frac{\pi}{6} + \frac{x^2}{\pi}$, $f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = ?$

а) Дана функция $f(x) = x^2 \sin x$. Для нахождения производной используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sin x$. Производные этих функций: $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = \cos x$. Таким образом, производная исходной функции равна: $f'(x) = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x$. Теперь вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{2}$: $f'(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) + (\frac{\pi}{2})^2 \cdot \cos(\frac{\pi}{2})$. Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем: $f'(\frac{\pi}{2}) = \pi \cdot 1 + \frac{\pi^2}{4} \cdot 0 = \pi$. Ответ: $\pi$.

б) Дана функция $f(x) = x(1 + \cos x) = x + x \cos x$. Найдем ее производную, дифференцируя по частям. Производная первого слагаемого $(x)' = 1$. Для второго слагаемого $x \cos x$ используем правило производной произведения: $(x \cos x)' = (x)' \cos x + x (\cos x)' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$. Таким образом, $f'(x) = 1 + \cos x - x \sin x$. Теперь вычислим значение производной в точке $x = \pi$: $f'(\pi) = 1 + \cos(\pi) - \pi \sin(\pi)$. Зная, что $\cos(\pi) = -1$ и $\sin(\pi) = 0$, получаем: $f'(\pi) = 1 + (-1) - \pi \cdot 0 = 0$. Ответ: $0$.

в) Дана функция $f(x) = \sqrt{3}\sin x + \frac{x^2}{\pi} + x\sin\frac{\pi}{6}$. Сначала упростим выражение, вычислив константу: $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Тогда функция принимает вид $f(x) = \sqrt{3}\sin x + \frac{1}{\pi}x^2 + \frac{1}{2}x$. Найдем производную, дифференцируя каждое слагаемое: $f'(x) = (\sqrt{3}\sin x)' + (\frac{1}{\pi}x^2)' + (\frac{1}{2}x)' = \sqrt{3}\cos x + \frac{2x}{\pi} + \frac{1}{2}$. Теперь вычислим значение производной в точке $x = \frac{\pi}{6}$: $f'(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{6}) + \frac{2(\frac{\pi}{6})}{\pi} + \frac{1}{2}$. Зная, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $f'(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi/3}{\pi} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = (\frac{3}{2}+\frac{1}{2}) + \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$. Ответ: $\frac{7}{3}$.

г) Дана функция $f(x) = \sqrt{3}\cos x - x\cos