Номер 41.36, страница 241, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.36. Существует ли производная заданной функции в указанных точках? Если да, то найдите значения производных:

a) $y = x^2 - 5|x| + 6, x_0 = 2, x_1 = 3, x_2 = 0;$

б) $y = |x^2 - 5|x| + 6|, x_0 = -2, x_1 = 0, x_2 = 2,5.$

а) $y = x^2 - 5|x| + 6$, $x_0 = 2, x_1 = 3, x_2 = 0$

Для нахождения производной заданной функции необходимо сначала раскрыть модуль $|x|$. Функция с модулем является кусочно-заданной.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = x^2 - 5x + 6$.
Производная на этом интервале ($x > 0$): $y' = (x^2 - 5x + 6)' = 2x - 5$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид:
$y = x^2 - 5(-x) + 6 = x^2 + 5x + 6$.
Производная на этом интервале ($x < 0$): $y' = (x^2 + 5x + 6)' = 2x + 5$.

Теперь вычислим значения производных в указанных точках.

• В точке $x_0 = 2$:

  Поскольку $2 > 0$, мы используем формулу для $x > 0$: $y'(x) = 2x - 5$.

  $y'(2) = 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1$.

  Производная существует.

• В точке $x_1 = 3$:

  Поскольку $3 > 0$, мы также используем формулу для $x > 0$: $y'(x) = 2x - 5$.

  $y'(3) = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$.

  Производная существует.

• В точке $x_2 = 0$:

  Точка $x=0$ является точкой "стыка" двух определений функции. Для существования производной в этой точке необходимо, чтобы левосторонняя и правосторонняя производные были равны.

  Правосторонняя производная (при $x \to 0^+$):
  $y'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} (2x - 5) = 2(0) - 5 = -5$.

  Левосторонняя производная (при $x \to 0^-$):
  $y'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} (2x + 5) = 2(0) + 5 = 5$.

  Так как $y'_+(0) \neq y'_{-}(0)$ ($-5 \neq 5$), производная в точке $x = 0$ не существует.

Ответ: $y'(2) = -1$; $y'(3) = 1$; в точке $x=0$ производная не существует.

б) $y = |x^2 - 5|x| + 6|$, $x_0 = -2, x_1 = 0, x_2 = 2,5$

Пусть внутренняя функция $g(x) = x^2 - 5|x| + 6$. Тогда $y(x) = |g(x)|$.

Производная функции $y(x)=|g(x)|$ не существует в точках, где производная $g'(x)$ не существует, а также в точках, где $g(x)=0$ (при условии, что $g'(x) \ne 0$), так как в этих точках график функции имеет излом.

1. Из пункта а) мы знаем, что производная $g'(x)$ не существует в точке $x=0$. Следовательно, в этой точке производная $y'(x)$ также может не существовать.

2. Найдем нули функции $g(x)$, то есть решим уравнение $g(x)=0$.
При $x \ge 0$: $x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3)=0$. Корни $x=2, x=3$.
При $x < 0$: $x^2 + 5x + 6 = 0 \implies (x+2)(x+3)=0$. Корни $x=-2, x=-3$.
Нули функции: $x = -3, -2, 2, 3$. Это потенциальные точки отсутствия производной для $y(x)$.

Для нахождения производной в конкретных точках, раскроем оба модуля, определив знаки подмодульных выражений. Производные для различных интервалов, полученные из анализа знаков $g(x)$ и раскрытия внешнего модуля, следующие:

$y'(x) = \begin{cases} 2x+5, & \text{если } x \in (-\infty, -3) \cup (-2, 0) \\ -2x-5, & \text{если } x \in (-3, -2) \\ 2x-5, & \text{если } x \in (0, 2) \cup (3, \infty) \\ -2x+5, & \text{если } x \in (2, 3) \end{cases}$

Теперь вычислим значения производных в указанных точках.

• В точке $x_0 = -2$:

  Это точка нуля функции $g(x)$. Проверим односторонние производные для $y(x)$.

  Левосторонняя производная (при $x \to -2^-$): $y'(x)=-2x-5$.
  $y'_{-}(-2) = -2(-2) - 5 = 4 - 5 = -1$.

  Правосторонняя производная (при $x \to -2^+$): $y'(x)=2x+5$.
  $y'_+(-2) = 2(-2) + 5 = -4 + 5 = 1$.

  Так как $y'_{-}(-2) \neq y'_+(-2)$, производная в точке $x = -2$ не существует.

• В точке $x_1 = 0$:

  Это точка, где $g'(x)$ не существует. Проверим односторонние производные для $y(x)$.

  Левосторонняя производная (при $x \to 0^-$): $y'(x)=2x+5$.
  $y'_{-}(0) = 2(0) + 5 = 5$.

  Правосторонняя производная (при $x \to 0^+$): $y'(x)=2x-5$.
  $y'_+(0) = 2(0) - 5 = -5$.

  Так как $y'_{-}(0) \neq y'_+(0)$, производная в точке $x = 0$ не существует.

• В точке $x_2 = 2,5$:

  Точка $x=2,5$ находится в интервале $(2, 3)$. На этом интервале $g(x) < 0$, поэтому $y(x) = -g(x) = -(x^2-5x+6)$.

  Производная на этом интервале: $y'(x) = -2x+5$.

  $y'(2,5) = -2(2,5) + 5 = -5 + 5 = 0$.

  Производная существует.

Ответ: в точках $x=-2$ и $x=0$ производная не существует; $y'(2,5) = 0$.