Номер 41.31, страница 241, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.31. Докажите, что производная заданной функции принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях аргумента:

a) $y = \frac{1}{x^5} - 1,5x;$

б) $y = -\sqrt{x} + 14;$

в) $y = 1,4 \cos x - 3x;$

г) $y = \frac{12}{x^7} + 29.$

а) Для функции $y = \frac{1}{x^5} - 1,5x$.

1. Найдем область допустимых значений аргумента. Функция определена при всех значениях $x$, для которых знаменатель $x^5$ не равен нулю, то есть $x \neq 0$. Область допустимых значений: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Представим функцию в виде $y = x^{-5} - 1,5x$ и применим правила дифференцирования:

$y' = (x^{-5} - 1,5x)' = (x^{-5})' - (1,5x)' = -5x^{-6} - 1,5$.

Запишем производную в виде дроби: $y' = -\frac{5}{x^6} - 1,5$.

3. Определим знак производной. В области допустимых значений ($x \neq 0$) выражение $x^6$ всегда положительно, так как это четная степень ненулевого числа ($x^6 > 0$). Следовательно, дробь $\frac{5}{x^6}$ также положительна. Тогда первое слагаемое $-\frac{5}{x^6}$ отрицательно. Производная $y'$ является суммой двух отрицательных чисел, $-\frac{5}{x^6}$ и $-1,5$. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. Таким образом, $y' < 0$ при всех допустимых значениях $x$.

Ответ: Доказано, что производная функции принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях аргумента.

б) Для функции $y = -\sqrt{x} + 14$.

1. Найдем область допустимых значений аргумента. Функция определена при $x \ge 0$. Производная функции, $(-\sqrt{x})' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$, определена при строгом неравенстве $x > 0$. Следовательно, допустимые значения аргумента для производной — это $x \in (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (-\sqrt{x} + 14)' = -(\sqrt{x})' + (14)' = -\frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Определим знак производной. В области допустимых значений ($x > 0$) корень $\sqrt{x}$ всегда положителен. Следовательно, знаменатель $2\sqrt{x}$ также положителен. Тогда дробь $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ положительна. Производная $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$ имеет знак минус перед положительной дробью, значит, она всегда отрицательна. Таким образом, $y' < 0$ при всех допустимых значениях $x$.

Ответ: Доказано, что производная функции принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях аргумента.

в) Для функции $y = 1,4 \cos x - 3x$.

1. Найдем область допустимых значений аргумента. Функции $\cos x$ и $x$ определены для всех действительных чисел, поэтому область определения — $x \in \mathbb{R}$.

2. Найдем производную функции, используя правила дифференцирования тригонометрических функций и линейной функции:

$y' = (1,4 \cos x - 3x)' = 1,4(\cos x)' - (3x)' = 1,4(-\sin x) - 3 = -1,4 \sin x - 3$.

3. Определим знак производной. Область значений функции синус ограничена: $-1 \le \sin x \le 1$. Оценим значение выражения $-1,4 \sin x$. Умножая двойное неравенство на $-1,4$ (знаки неравенства меняются на противоположные), получаем:

$-1,4 \cdot 1 \le -1,4 \sin x \le -1,4 \cdot (-1)$

$-1,4 \le -1,4 \sin x \le 1,4$.

Теперь оценим значение всей производной, вычитая 3 из каждой части неравенства:

$-1,4 - 3 \le -1,4 \sin x - 3 \le 1,4 - 3$

$-4,4 \le y' \le -1,6$.

Так как производная $y'$ находится в интервале от $-4,4$ до $-1,6$, ее значения всегда отрицательны. Таким образом, $y' < 0$ при всех допустимых значениях $x$.

Ответ: Доказано, что производная функции принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях аргумента.

г) Для функции $y = \frac{12}{x^7} + 29$.

1. Найдем область допустимых значений аргумента. Функция определена при всех значениях $x$, для которых знаменатель $x^7$ не равен нулю, то есть $x \neq 0$. Область допустимых значений: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Представим функцию в виде $y = 12x^{-7} + 29$ и применим правила дифференцирования:

$y' = (12x^{-7} + 29)' = 12(x^{-7})' + (29)' = 12(-7x^{-8}) + 0 = -84x^{-8}$.

Запишем производную в виде дроби: $y' = -\frac{84}{x^8}$.

3. Определим знак производной. В области допустимых значений ($x \neq 0$) выражение $x^8$ всегда положительно, так как это четная степень ненулевого числа ($x^8 > 0$). Следовательно, дробь $\frac{84}{x^8}$ положительна. Производная $y' = -\frac{84}{x^8}$ имеет знак минус перед положительной дробью, значит, она всегда отрицательна. Таким образом, $y' < 0$ при всех допустимых значениях $x$.

Ответ: Доказано, что производная функции принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях аргумента.