Номер 41.25, страница 240, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.25. a) $y = 6x - 9, x_0 = 3;$

б) $y = x^3 - 3x + 2, x_0 = -1;$

В) $y = 5x - 8, x_0 = 2;$

Г) $y = x^2 + 3x - 4, x_0 = 1.$

а) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = 6x - 9$ и точка $x_0 = 3$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(3) = 6 \cdot 3 - 9 = 18 - 9 = 9$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (6x - 9)' = 6$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(3) = 6$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 9 + 6(x - 3)$.
5. Упростим уравнение:
$y = 9 + 6x - 18$
$y = 6x - 9$.
Ответ: $y = 6x - 9$.

б) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = x^3 - 3x + 2$ и точка $x_0 = -1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 3 \cdot 1 - 3 = 0$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 4 + 0 \cdot (x - (-1))$.
5. Упростим уравнение:
$y = 4$.
Ответ: $y = 4$.

в) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = 5x - 8$ и точка $x_0 = 2$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(2) = 5 \cdot 2 - 8 = 10 - 8 = 2$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (5x - 8)' = 5$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(2) = 5$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 2 + 5(x - 2)$.
5. Упростим уравнение:
$y = 2 + 5x - 10$
$y = 5x - 8$.
Ответ: $y = 5x - 8$.

г) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = x^2 + 3x - 4$ и точка $x_0 = 1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 + 3x - 4)' = 2x + 3$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = f'(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 0 + 5(x - 1)$.
5. Упростим уравнение:
$y = 5x - 5$.
Ответ: $y = 5x - 5$.