Номер 41.22, страница 239, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.22. а) $y = \sin 2x \cos x - \cos 2x \sin x;$

б) $y = \sin \frac{x}{3} \cos \frac{2x}{3} + \cos \frac{x}{3} \sin \frac{2x}{3};$

в) $y = \cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x;$

г) $y = \cos \frac{x}{5} \cos \frac{4x}{5} - \sin \frac{x}{5} \sin \frac{4x}{5}.$

а)

Дано выражение: $y = \sin 2x \cos x - \cos 2x \sin x$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

В данном случае, пусть $\alpha = 2x$ и $\beta = x$.

Подставив эти значения в формулу, получаем: $y = \sin(2x - x)$.

Выполнив вычитание в аргументе синуса, находим: $y = \sin x$.

Ответ: $y = \sin x$.

б)

Дано выражение: $y = \sin \frac{x}{3} \cos \frac{2x}{3} + \cos \frac{x}{3} \sin \frac{2x}{3}$.

Это выражение соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

В данном случае, пусть $\alpha = \frac{x}{3}$ и $\beta = \frac{2x}{3}$.

Применяя формулу, получаем: $y = \sin(\frac{x}{3} + \frac{2x}{3})$.

Сложив дроби в аргументе синуса, находим: $y = \sin(\frac{x + 2x}{3}) = \sin(\frac{3x}{3}) = \sin x$.

Ответ: $y = \sin x$.

в)

Дано выражение: $y = \cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x$.

Для упрощения воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

В данном случае, пусть $\alpha = 3x$ и $\beta = 2x$.

Подставив значения в формулу, получаем: $y = \cos(3x - 2x)$.

Выполнив вычитание в аргументе косинуса, находим: $y = \cos x$.

Ответ: $y = \cos x$.

г)

Дано выражение: $y = \cos \frac{x}{5} \cos \frac{4x}{5} - \sin \frac{x}{5} \sin \frac{4x}{5}$.

Это выражение соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

В данном случае, пусть $\alpha = \frac{x}{5}$ и $\beta = \frac{4x}{5}$.

Применяя формулу, получаем: $y = \cos(\frac{x}{5} + \frac{4x}{5})$.

Сложив дроби в аргументе косинуса, находим: $y = \cos(\frac{x + 4x}{5}) = \cos(\frac{5x}{5}) = \cos x$.

Ответ: $y = \cos x$.