Номер 41.16, страница 239, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.16. a) $y = x^3 \cdot \operatorname{tg} x$;

б) $y = \cos x \cdot \operatorname{ctg} x$;

В) $y = \frac{1}{x} \cdot \operatorname{ctg} x$;

Г) $y = \sin x \cdot \operatorname{tg} x$.

а) Рассмотрим функцию $y = x^3 \cdot \tg x$. Для нахождения её производной применим правило дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
В нашем случае $u(x) = x^3$ и $v(x) = \tg x$.
Найдём производные этих функций:
$u'(x) = (x^3)' = 3x^2$
$v'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
Теперь подставим всё в формулу производной произведения:
$y' = (x^3)' \cdot \tg x + x^3 \cdot (\tg x)' = 3x^2 \cdot \tg x + x^3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 3x^2 \tg x + \frac{x^3}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = 3x^2 \tg x + \frac{x^3}{\cos^2 x}$.

б) Дана функция $y = \cos x \cdot \ctg x$. Воспользуемся правилом нахождения производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \ctg x$.
Производные сомножителей равны:
$u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$
$v'(x) = (\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$
Подставим в формулу:
$y' = (\cos x)' \cdot \ctg x + \cos x \cdot (\ctg x)' = (-\sin x) \cdot \ctg x + \cos x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)$.
Упростим выражение, подставив $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$:
$y' = (-\sin x) \cdot \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\cos x - \frac{\cos x}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = -\cos x - \frac{\cos x}{\sin^2 x}$.

в) Найдём производную функции $y = \frac{1}{x} \cdot \ctg x$. Эта функция является произведением $u(x) = \frac{1}{x}$ и $v(x) = \ctg x$. Применим правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Найдём производные:
$u'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$
$v'(x) = (\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$
Подставляем в формулу и вычисляем:
$y' = \left(\frac{1}{x}\right)' \cdot \ctg x + \frac{1}{x} \cdot (\ctg x)' = \left(-\frac{1}{x^2}\right) \cdot \ctg x + \frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{\ctg x}{x^2} - \frac{1}{x \sin^2 x}$.
Ответ: $y' = -\frac{\ctg x}{x^2} - \frac{1}{x \sin^2 x}$.

г) Для функции $y = \sin x \cdot \tg x$ применим правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = \sin x$ и $v(x) = \tg x$.
Находим производные сомножителей:
$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$
$v'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
Подставляем в формулу:
$y' = (\sin x)' \cdot \tg x + \sin x \cdot (\tg x)' = \cos x \cdot \tg x + \sin x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.
Далее упростим, используя определение тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$y' = \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sin x + \frac{\sin x}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \sin x + \frac{\sin x}{\cos^2 x}$.