Номер 41.10, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.10. a) $y = \frac{1}{3}\sin x - 3\operatorname{ctg} x;$

б) $y = 2\operatorname{tg} x + \sqrt{3}\cos x;$

В) $y = \frac{\cos x}{5} + 1,4\operatorname{ctg} x;$

Г) $y = 6\operatorname{tg} x - \sin x.$

а) Дана функция $y = \frac{1}{3}\sin x - 3\ctg x$.

Для нахождения производной $y'$ применяем правило дифференцирования разности функций $(u-v)'=u'-v'$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)'=c \cdot u'$.

$y' = (\frac{1}{3}\sin x - 3\ctg x)' = (\frac{1}{3}\sin x)' - (3\ctg x)' = \frac{1}{3}(\sin x)' - 3(\ctg x)'$.

Используем табличные производные тригонометрических функций: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Подставляем значения производных в выражение:

$y' = \frac{1}{3}\cos x - 3 \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{1}{3}\cos x + \frac{3}{\sin^2 x}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{3}\cos x + \frac{3}{\sin^2 x}$.

б) Дана функция $y = 2\tg x + \sqrt{3}\cos x$.

Для нахождения производной $y'$ применяем правило дифференцирования суммы функций $(u+v)'=u'+v'$ и правило вынесения константы за знак производной.

$y' = (2\tg x + \sqrt{3}\cos x)' = (2\tg x)' + (\sqrt{3}\cos x)' = 2(\tg x)' + \sqrt{3}(\cos x)'$.

Используем табличные производные тригонометрических функций: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и $(\cos x)' = -\sin x$.

Подставляем значения производных в выражение:

$y' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + \sqrt{3} \cdot (-\sin x) = \frac{2}{\cos^2 x} - \sqrt{3}\sin x$.

Ответ: $y' = \frac{2}{\cos^2 x} - \sqrt{3}\sin x$.

в) Дана функция $y = \frac{\cos x}{5} + 1,4\ctg x$.

Для нахождения производной $y'$ представим функцию в виде $y = \frac{1}{5}\cos x + 1,4\ctg x$ и применим правило дифференцирования суммы.

$y' = (\frac{1}{5}\cos x + 1,4\ctg x)' = (\frac{1}{5}\cos x)' + (1,4\ctg x)' = \frac{1}{5}(\cos x)' + 1,4(\ctg x)'$.

Используем табличные производные тригонометрических функций: $(\cos x)' = -\sin x$ и $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Подставляем значения производных в выражение:

$y' = \frac{1}{5} \cdot (-\sin x) + 1,4 \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{1}{5}\sin x - \frac{1,4}{\sin^2 x}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{5}\sin x - \frac{1,4}{\sin^2 x}$.

г) Дана функция $y = 6\tg x - \sin x$.

Для нахождения производной $y'$ применяем правило дифференцирования разности функций.

$y' = (6\tg x - \sin x)' = (6\tg x)' - (\sin x)' = 6(\tg x)' - (\sin x)'$.

Используем табличные производные тригонометрических функций: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и $(\sin x)' = \cos x$.

Подставляем значения производных в выражение:

$y' = 6 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} - \cos x = \frac{6}{\cos^2 x} - \cos x$.

Ответ: $y' = \frac{6}{\cos^2 x} - \cos x$.