Номер 41.8, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.8. a) $y = 6\sqrt{x} + \frac{3}{x}$;

б) $y = -2\sqrt{x} - \frac{1}{x}$;

В) $y = 10\sqrt{x} + \frac{5}{x}$;

Г) $y = -8\sqrt{x} - \frac{1}{x}$.

а)

Дана функция $y = 6\sqrt{x} + \frac{3}{x}$.

Область определения функции определяется условиями $x \ge 0$ (из-за корня) и $x \ne 0$ (из-за знаменателя). Таким образом, область определения: $x > 0$.

Для нахождения производной перепишем функцию в виде степеней:

$y = 6x^{1/2} + 3x^{-1}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и формулу для производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (6x^{1/2} + 3x^{-1})' = (6x^{1/2})' + (3x^{-1})'$

$y' = 6 \cdot (\frac{1}{2}x^{1/2 - 1}) + 3 \cdot (-1 \cdot x^{-1 - 1})$

$y' = 3x^{-1/2} - 3x^{-2}$

Запишем результат в исходном виде с корнями и дробями:

$y' = \frac{3}{x^{1/2}} - \frac{3}{x^2} = \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x^2}$

Ответ: $y' = \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x^2}$.

б)

Дана функция $y = -2\sqrt{x} - \frac{1}{x}$.

Область определения функции: $x > 0$.

Перепишем функцию в виде степеней:

$y = -2x^{1/2} - x^{-1}$

Найдем производную, используя те же правила дифференцирования:

$y' = (-2x^{1/2} - x^{-1})' = (-2x^{1/2})' - (x^{-1})'$

$y' = -2 \cdot (\frac{1}{2}x^{1/2 - 1}) - (-1 \cdot x^{-1 - 1})$

$y' = -1x^{-1/2} + x^{-2}$

Запишем результат в исходном виде:

$y' = -\frac{1}{x^{1/2}} + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

в)

Дана функция $y = 10\sqrt{x} + \frac{5}{x}$.

Область определения функции: $x > 0$.

Перепишем функцию в виде степеней:

$y = 10x^{1/2} + 5x^{-1}$

Найдем производную:

$y' = (10x^{1/2} + 5x^{-1})' = (10x^{1/2})' + (5x^{-1})'$

$y' = 10 \cdot (\frac{1}{2}x^{1/2 - 1}) + 5 \cdot (-1 \cdot x^{-1 - 1})$

$y' = 5x^{-1/2} - 5x^{-2}$

Запишем результат в исходном виде:

$y' = \frac{5}{x^{1/2}} - \frac{5}{x^2} = \frac{5}{\sqrt{x}} - \frac{5}{x^2}$

Ответ: $y' = \frac{5}{\sqrt{x}} - \frac{5}{x^2}$.

г)

Дана функция $y = -8\sqrt{x} - \frac{1}{x}$.

Область определения функции: $x > 0$.

Перепишем функцию в виде степеней:

$y = -8x^{1/2} - x^{-1}$

Найдем производную:

$y' = (-8x^{1/2} - x^{-1})' = (-8x^{1/2})' - (x^{-1})'$

$y' = -8 \cdot (\frac{1}{2}x^{1/2 - 1}) - (-1 \cdot x^{-1 - 1})$

$y' = -4x^{-1/2} + x^{-2}$

Запишем результат в исходном виде:

$y' = -\frac{4}{x^{1/2}} + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{4}{\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{x^2} - \frac{4}{\sqrt{x}}$.