Номер 41.4, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.4. a) $y = \operatorname{tg} x;$

Б) $y = \operatorname{ctg} x;$

В) $y = \operatorname{tg} x + 4;$

Г) $y = \operatorname{ctg} x + 8.$

а) Для нахождения производной функции $y = \tg x$ воспользуемся определением тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и правилом дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u = \sin x$, тогда $u' = \cos x$.
Пусть $v = \cos x$, тогда $v' = -\sin x$.
Подставим эти значения в формулу производной частного:
$y' = (\tg x)' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{(\cos x)^2} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
Таким образом, получаем: $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

б) Для нахождения производной функции $y = \ctg x$ воспользуемся определением котангенса $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ и правилом дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u = \cos x$, тогда $u' = -\sin x$.
Пусть $v = \sin x$, тогда $v' = \cos x$.
Подставим эти значения в формулу производной частного:
$y' = (\ctg x)' = \frac{(\cos x)' \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)'}{(\sin x)^2} = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
Таким образом, получаем: $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

в) Для нахождения производной функции $y = \tg x + 4$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы равна сумме производных: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.
$y' = (\tg x + 4)' = (\tg x)' + (4)'$.
Производная тангенса, как мы нашли в пункте а), равна $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Производная константы (числа 4) равна нулю: $(4)' = 0$.
Следовательно, $y' = \frac{1}{\cos^2 x} + 0 = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

г) Для нахождения производной функции $y = \ctg x + 8$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.
$y' = (\ctg x + 8)' = (\ctg x)' + (8)'$.
Производная котангенса, как мы нашли в пункте б), равна $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Производная константы (числа 8) равна нулю: $(8)' = 0$.
Следовательно, $y' = -\frac{1}{\sin^2 x} + 0 = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.