Номер 41.7, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.7. a) $y = 12x + \sqrt{x};$

б) $y = -2x^2 - \frac{1}{x};$

В) $y = \sqrt{x} - 5x^2;$

Г) $y = 10x^2 + \frac{1}{x}.$

а) $y = 12x + \sqrt{x}$

Для нахождения производной функции $y$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и формулами производных степенной функции.

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: $(u+v)' = u' + v'$.

В нашем случае $u = 12x$ и $v = \sqrt{x}$.

Найдем производную первого слагаемого: $(12x)' = 12 \cdot (x)' = 12 \cdot 1 = 12$.

Найдем производную второго слагаемого. Представим $\sqrt{x}$ в виде степенной функции $x^{\frac{1}{2}}$.

Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = n x^{n-1}$:

$(\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь сложим полученные производные:

$y' = (12x + \sqrt{x})' = (12x)' + (\sqrt{x})' = 12 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = 12 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

б) $y = -2x^2 - \frac{1}{x}$

Для нахождения производной функции $y$ воспользуемся правилом дифференцирования разности и формулами производных степенной функции.

Производная разности функций равна разности производных: $(u-v)' = u' - v'$.

В данном случае $u = -2x^2$ и $v = \frac{1}{x}$.

Найдем производную первого слагаемого, используя формулу $(x^n)' = n x^{n-1}$:

$(-2x^2)' = -2 \cdot (x^2)' = -2 \cdot 2x = -4x$.

Найдем производную второго слагаемого. Представим $\frac{1}{x}$ в виде $x^{-1}$.

Используем ту же формулу $(x^n)' = n x^{n-1}$:

$(\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Теперь вычтем производные:

$y' = (-2x^2 - \frac{1}{x})' = (-2x^2)' - (\frac{1}{x})' = -4x - (-\frac{1}{x^2}) = -4x + \frac{1}{x^2}$.

Ответ: $y' = -4x + \frac{1}{x^2}$.

в) $y = \sqrt{x} - 5x^2$

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования разности и формулами производных степенной функции.

Производная разности функций равна разности производных: $(u-v)' = u' - v'$.

Здесь $u = \sqrt{x}$ и $v = 5x^2$.

Производная первого слагаемого (как в пункте а):

$(\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная второго слагаемого:

$(5x^2)' = 5 \cdot (x^2)' = 5 \cdot 2x = 10x$.

Вычтем производные:

$y' = (\sqrt{x} - 5x^2)' = (\sqrt{x})' - (5x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 10x$.

Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 10x$.

г) $y = 10x^2 + \frac{1}{x}$

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования суммы и формулами производных степенной функции.

Производная суммы функций равна сумме производных: $(u+v)' = u' + v'$.

В этом случае $u = 10x^2$ и $v = \frac{1}{x}$.

Найдем производную первого слагаемого:

$(10x^2)' = 10 \cdot (x^2)' = 10 \cdot 2x = 20x$.

Найдем производную второго слагаемого (как в пункте б):

$(\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Сложим полученные производные:

$y' = (10x^2 + \frac{1}{x})' = (10x^2)' + (\frac{1}{x})' = 20x + (-\frac{1}{x^2}) = 20x - \frac{1}{x^2}$.

Ответ: $y' = 20x - \frac{1}{x^2}$.