Номер 41.28, страница 240, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.28. a) $y = \operatorname{tg}x + \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{x}, x_0 = \frac{\pi}{4};$

б) $y = 2 \operatorname{ctg}x - 3 \operatorname{tg}x, x_0 = \frac{\pi}{3};$

в) $y = \operatorname{ctg}x + \frac{\pi^2}{x}, x_0 = -\frac{\pi}{6};$

г) $y = (2x + 3)^2 - 4 \operatorname{tg}x, x_0 = 0.$

а)

Дана функция $y = \text{tg}x + \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{x}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Чтобы найти значение производной в точке $x_0$, сначала найдем производную функции $y$ по $x$.

Используем правила дифференцирования. Производная суммы равна сумме производных:

$y' = (\text{tg}x + \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{x})' = (\text{tg}x)' + (\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{x})'$

Производная тангенса: $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

Для второго слагаемого, представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и воспользуемся правилом производной степенной функции и вынесения константы:

$(\sqrt{\pi} \cdot x^{1/2})' = \sqrt{\pi} \cdot (x^{1/2})' = \sqrt{\pi} \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{x}}$

Таким образом, производная функции:

$y' = \frac{1}{\cos^2x} + \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{x}}$

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в выражение для производной:

$y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} + \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\frac{\pi}{4}}}$

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Также, $\sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Подставляем эти значения:

$y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{1/2} + \frac{\sqrt{\pi}}{2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}} = 2 + \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} = 2 + 1 = 3$

Ответ: $3$

б)

Дана функция $y = 2\text{ctg}x - 3\text{tg}x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y' = (2\text{ctg}x - 3\text{tg}x)' = 2(\text{ctg}x)' - 3(\text{tg}x)'$

Производная котангенса: $(\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2x}$.

Производная тангенса: $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

Подставляем производные в выражение:

$y' = 2(-\frac{1}{\sin^2x}) - 3(\frac{1}{\cos^2x}) = -\frac{2}{\sin^2x} - \frac{3}{\cos^2x}$

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$y'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{2}{\sin^2(\frac{\pi}{3})} - \frac{3}{\cos^2(\frac{\pi}{3})}$

Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$ и $\cos^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Подставляем эти значения:

$y'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{2}{3/4} - \frac{3}{1/4} = -2 \cdot \frac{4}{3} - 3 \cdot 4 = -\frac{8}{3} - 12 = -\frac{8}{3} - \frac{36}{3} = -\frac{44}{3}$

Ответ: $-\frac{44}{3}$

в)

Дана функция $y = \text{ctg}x + \frac{\pi^2}{x}$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{6}$.

Найдем производную функции $y$ по $x$. Представим второе слагаемое как $\pi^2 x^{-1}$:

$y' = (\text{ctg}x + \pi^2 x^{-1})' = (\text{ctg}x)' + (\pi^2 x^{-1})'$

Производная котангенса: $(\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2x}$.

Производная второго слагаемого: $(\pi^2 x^{-1})' = \pi^2 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{\pi^2}{x^2}$.

Таким образом, производная функции:

$y' = -\frac{1}{\sin^2x} - \frac{\pi^2}{x^2}$

Теперь подставим значение $x_0 = -\frac{\pi}{6}$:

$y'(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sin^2(-\frac{\pi}{6})} - \frac{\pi^2}{(-\frac{\pi}{6})^2}$

Мы знаем, что $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Следовательно, $\sin^2(-\frac{\pi}{6}) = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Знаменатель второй дроби: $(-\frac{\pi}{6})^2 = \frac{\pi^2}{36}$.

Подставляем эти значения:

$y'(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{1/4} - \frac{\pi^2}{\pi^2/36} = -4 - 36 = -40$

Ответ: $-40$

г)

Дана функция $y = (2x + 3)^2 - 4\text{tg}x$ и точка $x_0 = 0$.

Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y' = ((2x + 3)^2 - 4\text{tg}x)' = ((2x + 3)^2)' - (4\text{tg}x)'$

Для первого слагаемого используем правило производной сложной функции. Пусть $u = 2x+3$, тогда $(u^2)' = 2u \cdot u'$.

$((2x + 3)^2)' = 2(2x+3) \cdot (2x+3)' = 2(2x+3) \cdot 2 = 4(2x+3) = 8x + 12$.

Производная второго слагаемого: $(4\text{tg}x)' = 4(\text{tg}x)' = 4 \cdot \frac{1}{\cos^2x} = \frac{4}{\cos^2x}$.

Таким образом, производная функции:

$y' = 8x + 12 - \frac{4}{\cos^2x}$

Теперь подставим значение $x_0 = 0$:

$y'(0) = 8(0) + 12 - \frac{4}{\cos^2(0)}$

Мы знаем, что $\cos(0) = 1$, следовательно $\cos^2(0) = 1^2 = 1$.

Подставляем это значение:

$y'(0) = 0 + 12 - \frac{4}{1} = 12 - 4 = 8$

Ответ: $8$