Номер 41.26, страница 240, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.26. а) $y = \frac{2}{x} - \frac{x}{2}, x_0 = 4;$

б) $y = \sqrt{x} + 4, x_0 = 9;$

в) $y = \frac{8}{x} - \frac{x^3}{3}, x_0 = 1;$

г) $y = \sqrt{x} + 5x, x_0 = 4.$

а) Рассмотрим функцию $y = \frac{2}{x} - \frac{x}{2}$ в точке $x_0 = 4$.

Для нахождения значения производной в точке, сначала найдем общую формулу производной $y'(x)$. Перепишем функцию для удобства дифференцирования: $y = 2x^{-1} - \frac{1}{2}x$.

Применяя правила дифференцирования (производная степенной функции и линейность производной), получаем:

$y'(x) = (2x^{-1})' - (\frac{1}{2}x)' = 2 \cdot (-1)x^{-1-1} - \frac{1}{2} \cdot 1 = -2x^{-2} - \frac{1}{2} = -\frac{2}{x^2} - \frac{1}{2}$.

Теперь подставим значение $x_0 = 4$ в полученное выражение для производной:

$y'(4) = -\frac{2}{4^2} - \frac{1}{2} = -\frac{2}{16} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{8} - \frac{4}{8} = -\frac{5}{8}$.

Ответ: $-\frac{5}{8}$.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x} + 4$ в точке $x_0 = 9$.

Сначала найдем производную функции $y(x)$. Представим функцию в виде $y = x^{1/2} + 4$.

Производная суммы функций равна сумме производных. Производная константы равна нулю. Используя формулу производной степенной функции, получаем:

$y'(x) = (x^{1/2} + 4)' = (x^{1/2})' + (4)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 0 = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 9$:

$y'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

в) Рассмотрим функцию $y = \frac{8}{x} - \frac{x^3}{3}$ в точке $x_0 = 1$.

Найдем производную функции $y(x)$. Перепишем функцию в виде $y = 8x^{-1} - \frac{1}{3}x^3$.

Дифференцируем функцию, используя правила дифференцирования:

$y'(x) = (8x^{-1} - \frac{1}{3}x^3)' = (8x^{-1})' - (\frac{1}{3}x^3)' = 8 \cdot (-1)x^{-2} - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = -8x^{-2} - x^2 = -\frac{8}{x^2} - x^2$.

Подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$y'(1) = -\frac{8}{1^2} - 1^2 = -8 - 1 = -9$.

Ответ: $-9$.

г) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x} + 5x$ в точке $x_0 = 4$.

Найдем производную функции $y(x)$. Представим функцию в виде $y = x^{1/2} + 5x$.

Используя правила дифференцирования, находим производную:

$y'(x) = (x^{1/2} + 5x)' = (x^{1/2})' + (5x)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 5 = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 5$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$:

$y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} + 5 = \frac{1}{2 \cdot 2} + 5 = \frac{1}{4} + 5 = \frac{1}{4} + \frac{20}{4} = \frac{21}{4}$.

Ответ: $\frac{21}{4}$.