Номер 41.35, страница 241, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.35. Существует ли производная заданной функции в точке $x_0$? Если да, то вычислите её:

a) $y = |x - 2|(x - 2)$, $x_0 = 2$;

б) $y = (x + 2)|x + 2|$, $x_0 = -2$.

а) $y = |x - 2|(x - 2), x_0 = 2$

Для того чтобы определить, существует ли производная функции в точке, нужно проверить, существуют ли и равны ли друг другу односторонние производные (слева и справа) в этой точке. Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ существует тогда и только тогда, когда существуют и равны конечные пределы $f'_{-}(x_0) = f'_{+}(x_0)$.

Воспользуемся определением производной: $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

В данном случае, $f(x) = |x - 2|(x - 2)$ и $x_0 = 2$.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(2) = |2 - 2|(2 - 2) = 0 \cdot 0 = 0$.

Теперь рассмотрим предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x} = \frac{|(2 + \Delta x) - 2|((2 + \Delta x) - 2) - 0}{\Delta x} = \frac{|\Delta x| \cdot \Delta x}{\Delta x}$.

Найдем правостороннюю производную (когда $\Delta x \to 0^+$, то есть $\Delta x > 0$, и, следовательно, $|\Delta x| = \Delta x$):

$f'_{+}(2) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x \cdot \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \Delta x = 0$.

Найдем левостороннюю производную (когда $\Delta x \to 0^-$, то есть $\Delta x < 0$, и, следовательно, $|\Delta x| = -\Delta x$):

$f'_{-}(2) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(-\Delta x) \cdot \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} (-\Delta x) = 0$.

Так как левосторонняя и правосторонняя производные в точке $x_0 = 2$ существуют и равны друг другу ($f'_{-}(2) = f'_{+}(2) = 0$), то производная функции в этой точке существует.

Ответ: Да, существует, $y'(2) = 0$.

б) $y = (x + 2)|x + 2|, x_0 = -2$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Проверим существование и равенство односторонних производных в точке $x_0 = -2$.

В данном случае, $f(x) = (x + 2)|x + 2|$ и $x_0 = -2$.

Значение функции в точке $x_0 = -2$:

$f(-2) = (-2 + 2)|-2 + 2| = 0 \cdot 0 = 0$.

Рассмотрим предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{f(-2 + \Delta x) - f(-2)}{\Delta x} = \frac{((-2 + \Delta x) + 2)|(-2 + \Delta x) + 2| - 0}{\Delta x} = \frac{\Delta x \cdot |\Delta x|}{\Delta x}$.

Найдем правостороннюю производную (когда $\Delta x \to 0^+$, то есть $\Delta x > 0$, и $|\Delta x| = \Delta x$):

$f'_{+}(-2) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x \cdot \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \Delta x = 0$.

Найдем левостороннюю производную (когда $\Delta x \to 0^-$, то есть $\Delta x < 0$, и $|\Delta x| = -\Delta x$):

$f'_{-}(-2) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{\Delta x \cdot (-\Delta x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} (-\Delta x) = 0$.

Левосторонняя и правосторонняя производные в точке $x_0 = -2$ существуют и равны ($f'_{-}(-2) = f'_{+}(-2) = 0$). Следовательно, производная функции в этой точке существует.

Ответ: Да, существует, $y'(-2) = 0$.