Страница 243, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Запишите формулу двойного аргумента:

а) для синуса;

б) для косинуса;

в) для тангенса.

а) для синуса

Формула двойного аргумента для синуса выражает синус угла $2\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Она является частным случаем формулы синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

Чтобы получить формулу для двойного аргумента, достаточно в формуле синуса суммы положить $\beta = \alpha$:

$\sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = \sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos(\alpha)\sin(\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

Ответ: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

б) для косинуса

Формула двойного аргумента для косинуса, как и для синуса, выводится из формулы косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$.

При $\beta = \alpha$ получаем основной вид формулы:

$\cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) = \cos(\alpha)\cos(\alpha) - \sin(\alpha)\sin(\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$.

Эту формулу можно преобразовать, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Существует два распространенных варианта преобразования:

1. Выразим $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$ и подставим в формулу:
$\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - (1 - \cos^2(\alpha)) = \cos^2(\alpha) - 1 + \cos^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$.

2. Выразим $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$ и подставим в формулу:
$\cos(2\alpha) = (1 - \sin^2(\alpha)) - \sin^2(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$.

Таким образом, для косинуса двойного угла существует три равнозначные формы записи.

Ответ: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 = 1 - 2\sin^2(\alpha)$

в) для тангенса

Формула двойного аргумента для тангенса выводится аналогично, из формулы тангенса суммы: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)}$.

Положим в этой формуле $\beta = \alpha$:

$\tan(2\alpha) = \tan(\alpha + \alpha) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\alpha)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\alpha)} = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$.

Данная формула справедлива, когда $\tan(\alpha)$ и $\tan(2\alpha)$ имеют смысл, то есть когда их аргументы не равны $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число.

Ответ: $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$

2. Укажите область допустимых значений переменной в формуле

$\operatorname{tg} 2x = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x}$.

Для нахождения области допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ в формуле $\operatorname{tg} 2x = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^{2} x}$, необходимо определить, при каких значениях $x$ обе части равенства имеют смысл.

Сначала рассмотрим левую часть равенства: $\operatorname{tg} 2x$. Тригонометрическая функция тангенс $\operatorname{tg} a$ определена, если ее аргумент $a$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого числа $k$. Применительно к нашему случаю это означает:

$2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Разделив это соотношение на 2, получаем первое ограничение на $x$:

$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь рассмотрим правую часть равенства: $\frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^{2} x}$. Для ее существования должны выполняться два условия. Во-первых, должен быть определен $\operatorname{tg} x$. Это накладывает ограничение:

$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Во-вторых, знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$1 - \operatorname{tg}^{2} x \neq 0$

$\operatorname{tg}^{2} x \neq 1$

Отсюда следует, что $\operatorname{tg} x \neq 1$ и $\operatorname{tg} x \neq -1$. Решая эти неравенства, получаем:

$x \neq \frac{\pi}{4} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$

$x \neq -\frac{\pi}{4} + \pi j, \quad j \in \mathbb{Z}$

Эти два набора ограничений можно объединить в одну общую формулу: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi l}{2}, \quad l \in \mathbb{Z}$.

Чтобы формула была верна, необходимо выполнение всех найденных условий. Таким образом, мы должны объединить все ограничения. Заметим, что условие, полученное для левой части ($x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$), совпадает с условием для знаменателя правой части. Следовательно, итоговые ограничения для $x$ включают в себя:

1. Условие существования $\operatorname{tg} x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

2. Условие существования $\operatorname{tg} 2x$ (и ненулевого знаменателя справа): $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Оба этих условия должны выполняться. Эти два множества исключаемых значений не пересекаются, поэтому оба являются частью итогового ответа.

Ответ: Область допустимых значений переменной $x$ — это все действительные числа, за исключением $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $n$ и $k$ — любые целые числа.

3. Какие формулы называют формулами понижения степени?

Запишите их.

Формулами понижения степени в тригонометрии называют тождества, которые позволяют выразить натуральные степени тригонометрических функций (например, $\sin^2\alpha$, $\cos^3\alpha$) через тригонометрические функции в первой степени, но с кратным аргументом (например, $\cos(2\alpha)$, $\sin(3\alpha)$).

Основное применение этих формул — упрощение тригонометрических выражений и вычисление интегралов от степеней тригонометрических функций. Формулы для квадратов выводятся напрямую из формул косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Формулы понижения степени для квадратов

• Для квадрата синуса:

  $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$

• Для квадрата косинуса:

  $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$

• Для квадрата тангенса (получается делением формулы для синуса на формулу для косинуса):

  $\tan^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{1 + \cos(2\alpha)}$

Формулы понижения степени для кубов

Эти формулы выводятся из формул тройного угла ($\sin(3\alpha)$ и $\cos(3\alpha)$).

• Для куба синуса:

  $\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin(3\alpha)}{4}$

• Для куба косинуса:

  $\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos(3\alpha)}{4}$

Ответ:
Формулы понижения степени:
$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$
$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$
$\tan^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{1 + \cos(2\alpha)}$
$\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin(3\alpha)}{4}$
$\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos(3\alpha)}{4}$

41.44. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $y = h(x)$ образует с положительным направлением оси абсцисс заданный угол $\alpha$:

а) $h(x) = x^2 - 3x + 19, \alpha = 45^{\circ}$;

б) $h(x) = \frac{4}{x+2}, \alpha = 135^{\circ}$.

Значение производной функции $h(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент $k$ касательной, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который она образует с положительным направлением оси абсцисс. Таким образом, для нахождения искомых абсцисс необходимо решить уравнение $h'(x) = \tan(\alpha)$.

а)

Дана функция $h(x) = x^2 - 3x + 19$ и угол $\alpha = 45^\circ$.

1. Найдем производную функции $h(x)$:
$h'(x) = (x^2 - 3x + 19)' = 2x - 3$.

2. Найдем тангенс угла наклона:
$k = \tan(\alpha) = \tan(45^\circ) = 1$.

3. Приравняем производную к значению тангенса и решим уравнение относительно $x$:
$h'(x) = 1$
$2x - 3 = 1$
$2x = 1 + 3$
$2x = 4$
$x = 2$.

Ответ: 2.

б)

Дана функция $h(x) = \frac{4}{x + 2}$ и угол $\alpha = 135^\circ$.

1. Найдем производную функции $h(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ или представив функцию в виде $h(x) = 4(x+2)^{-1}$:
$h'(x) = (4(x+2)^{-1})' = 4 \cdot (-1) \cdot (x+2)^{-1-1} \cdot (x+2)' = -4(x+2)^{-2} = -\frac{4}{(x+2)^2}$.

2. Найдем тангенс угла наклона:
$k = \tan(\alpha) = \tan(135^\circ) = -1$.

3. Приравняем производную к значению тангенса и решим уравнение относительно $x$:
$h'(x) = -1$
$-\frac{4}{(x+2)^2} = -1$
$\frac{4}{(x+2)^2} = 1$
$(x+2)^2 = 4$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два случая:
$x + 2 = 2$ или $x + 2 = -2$.
В первом случае: $x_1 = 2 - 2 = 0$.
Во втором случае: $x_2 = -2 - 2 = -4$.

Оба найденных значения входят в область определения функции ($x \neq -2$).

Ответ: -4; 0.

41.45. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $y = h(x)$ образует острый угол с положительным направлением оси $x$, если:

а) $h(x) = x^3 - 3x^2 + 1;$

б) $h(x) = 4\sqrt{x} - x;$

в) $h(x) = x^3 - x^4 - 19;$

г) $h(x) = tg x - 4x.$

Касательная к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ образует острый угол с положительным направлением оси $x$, если ее угловой коэффициент положителен. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания, $k = h'(x_0)$. Таким образом, условие задачи сводится к решению неравенства $h'(x) > 0$ для каждой из предложенных функций с учетом ее области определения.

а) $h(x) = x^3 - 3x^2 + 1$

1. Найдем производную функции:

$h'(x) = (x^3 - 3x^2 + 1)' = 3x^2 - 6x$

2. Решим неравенство $h'(x) > 0$:

$3x^2 - 6x > 0$

$3x(x - 2) > 0$

Корнями уравнения $3x(x - 2) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на промежутках вне корней.

$x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$

Функция определена на всей числовой оси, поэтому найденные промежутки являются решением.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.

б) $h(x) = 4\sqrt{x} - x$

1. Область определения функции: $x \ge 0$.

2. Найдем производную функции:

$h'(x) = (4\sqrt{x} - x)' = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = \frac{2}{\sqrt{x}} - 1$

Производная определена при $x > 0$.

3. Решим неравенство $h'(x) > 0$ на области определения производной:

$\frac{2}{\sqrt{x}} - 1 > 0$

$\frac{2}{\sqrt{x}} > 1$

Поскольку $\sqrt{x} > 0$, можно умножить обе части неравенства на $\sqrt{x}$:

$2 > \sqrt{x}$

Возведем обе части в квадрат (так как они неотрицательны):

$4 > x$

4. Учитывая, что производная определена при $x > 0$, получаем итоговое решение:

$0 < x < 4$

Ответ: $x \in (0, 4)$.

в) $h(x) = x^3 - x^4 - 19$

1. Найдем производную функции:

$h'(x) = (x^3 - x^4 - 19)' = 3x^2 - 4x^3$

2. Решим неравенство $h'(x) > 0$:

$3x^2 - 4x^3 > 0$

$x^2(3 - 4x) > 0$

Так как $x^2 \ge 0$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы $x^2 \ne 0$ и $3 - 4x > 0$.

Из $x^2 \ne 0$ следует $x \ne 0$.

Из $3 - 4x > 0$ следует $3 > 4x$, то есть $x < \frac{3}{4}$.

Объединяя условия, получаем $x < \frac{3}{4}$ и $x \ne 0$.

$x \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4})$

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4})$.

г) $h(x) = \tg x - 4x$

1. Область определения функции: $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем производную функции:

$h'(x) = (\tg x - 4x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 4$

3. Решим неравенство $h'(x) > 0$:

$\frac{1}{\cos^2 x} - 4 > 0$

$\frac{1}{\cos^2 x} > 4$

Так как $\cos^2 x > 0$ на области определения, получаем:

$1 > 4\cos^2 x$

$\cos^2 x < \frac{1}{4}$

Это равносильно $|\cos x| < \frac{1}{2}$, или $-\frac{1}{2} < \cos x < \frac{1}{2}$.

Решением этого двойного неравенства являются интервалы:

$\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4. Учтем область определения функции. Точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ не входят в область определения. Для любого целого $n$ выполняется $\frac{\pi}{3} + \pi n < \frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{2\pi}{3} + \pi n$, поэтому эти точки нужно исключить из найденных интервалов.

Таким образом, каждый интервал решения разбивается на два:

$x \in (\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n) \cup (\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{2\pi}{3} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n) \cup (\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{2\pi}{3} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

41.46. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $y = \varphi(x)$ образует тупой угол с положительным направлением оси x, если:

а) $\varphi(x) = \sin x + 3$;

б) $\varphi(x) = 0,2x^5 - 3\frac{1}{3}x^3 + 9x$;

в) $\varphi(x) = \operatorname{ctg} x + 9x$;

г) $\varphi(x) = x^4 - \frac{1}{3}x^3 + 21$.

Касательная к графику функции $y = \phi(x)$ образует тупой угол с положительным направлением оси $x$, если ее угловой коэффициент отрицателен. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $k = \phi'(x_0)$. Тупой угол $\alpha$ находится в диапазоне $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, для которого $\tan(\alpha) < 0$. Следовательно, для решения задачи необходимо найти значения $x$, для которых производная функции отрицательна, то есть $\phi'(x) < 0$.

а) Дана функция $\phi(x) = \sin x + 3$.
1. Находим производную функции:
$\phi'(x) = (\sin x + 3)' = \cos x$.
2. Решаем неравенство $\phi'(x) < 0$:
$\cos x < 0$.
Функция косинуса принимает отрицательные значения во II и III координатных четвертях. Общее решение этого неравенства:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $\phi(x) = 0,2x^5 - 3\frac{1}{3}x^3 + 9x$.
1. Представим коэффициенты в виде обыкновенных дробей: $\phi(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 9x$.
2. Находим производную функции:
$\phi'(x) = (\frac{1}{5}x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 9x)' = 5 \cdot \frac{1}{5}x^4 - 3 \cdot \frac{10}{3}x^2 + 9 = x^4 - 10x^2 + 9$.
3. Решаем неравенство $\phi'(x) < 0$:
$x^4 - 10x^2 + 9 < 0$.
Это биквадратное неравенство. Пусть $t = x^2$ (при этом $t \ge 0$). Неравенство принимает вид:
$t^2 - 10t + 9 < 0$.
Корни квадратного трехчлена $t^2 - 10t + 9$ равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$. Решением неравенства является интервал $(1, 9)$, то есть $1 < t < 9$.
4. Возвращаемся к переменной $x$:
$1 < x^2 < 9$.
Это двойное неравенство эквивалентно системе $\begin{cases} x^2 > 1 \\ x^2 < 9 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} |x| > 1 \\ |x| < 3 \end{cases}$.
Решением является пересечение множеств $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ и $(-3, 3)$, что дает $x \in (-3, -1) \cup (1, 3)$.
Ответ: $x \in (-3, -1) \cup (1, 3)$.

в) Дана функция $\phi(x) = \operatorname{ctg} x + 9x$.
1. Область определения функции: $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. Находим производную функции:
$\phi'(x) = (\operatorname{ctg} x + 9x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} + 9$.
3. Решаем неравенство $\phi'(x) < 0$ с учетом области определения:
$9 - \frac{1}{\sin^2 x} < 0 \implies 9 < \frac{1}{\sin^2 x}$.
Поскольку на области определения $\sin^2 x > 0$, можно умножить обе части неравенства на $\sin^2 x$:
$9 \sin^2 x < 1 \implies \sin^2 x < \frac{1}{9}$.
Это равносильно $|\sin x| < \frac{1}{3}$, или $-\frac{1}{3} < \sin x < \frac{1}{3}$.
Решением этого неравенства являются интервалы $(\pi k - \arcsin(\frac{1}{3}), \pi k + \arcsin(\frac{1}{3}))$, $k \in \mathbb{Z}$.
4. Необходимо исключить из решения точки $x = \pi k$, в которых исходная функция не определена. Эти точки находятся в середине каждого из найденных интервалов, поэтому каждый интервал разбивается на два.
Ответ: $x \in (\pi k - \arcsin(\frac{1}{3}), \pi k) \cup (\pi k, \pi k + \arcsin(\frac{1}{3}))$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) Дана функция $\phi(x) = x^4 - \frac{1}{3}x^3 + 21$.
1. Находим производную функции:
$\phi'(x) = (x^4 - \frac{1}{3}x^3 + 21)' = 4x^3 - x^2$.
2. Решаем неравенство $\phi'(x) < 0$:
$4x^3 - x^2 < 0$.
Выносим общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(4x - 1) < 0$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ при всех действительных $x$, данное неравенство выполняется, когда множители имеют разные знаки. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, оно должно быть положительным, а второй множитель — отрицательным. Это эквивалентно системе:
$\begin{cases} x^2 > 0 \\ 4x - 1 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 0 \\ 4x < 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 0 \\ x < \frac{1}{4} \end{cases}$.
Решением является объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (0, \frac{1}{4})$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{1}{4})$.

41.47. При каких значениях $a$ касательные к графикам функций $y = f(x)$, $y = h(x)$ в точке $x = a$ не имеют общих точек:

a) $f(x) = x^7$, $h(x) = x^8$;

б) $f(x) = x^2 + x + 3$, $h(x) = x^3$?

Две касательные не имеют общих точек, если они параллельны, но не совпадают. Уравнение касательной к графику функции $g(x)$ в точке $x_0 = a$ имеет вид: $y = g(a) + g'(a)(x - a)$. Перепишем его в виде $y = kx + b$, где $k$ - угловой коэффициент, а $b$ - свободный член: $y = g'(a)x + (g(a) - a \cdot g'(a))$.

Для того чтобы две касательные, проведенные к графикам функций $f(x)$ и $h(x)$ в точке $x = a$, были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны: $f'(a) = h'(a)$.

Для того чтобы эти касательные не совпадали, их свободные члены должны быть различны: $f(a) - a \cdot f'(a) \neq h(a) - a \cdot h'(a)$. Учитывая, что $f'(a) = h'(a)$, это неравенство упрощается до: $f(a) \neq h(a)$.

Таким образом, нам нужно найти такие значения $a$, которые удовлетворяют системе условий: $$ \begin{cases} f'(a) = h'(a) \\ f(a) \neq h(a) \end{cases} $$

а) $f(x) = x^7, h(x) = x^8$

1. Находим производные функций: $f'(x) = (x^7)' = 7x^6$ $h'(x) = (x^8)' = 8x^7$

2. Приравниваем значения производных в точке $x = a$ для нахождения условия параллельности: $f'(a) = h'(a) \Rightarrow 7a^6 = 8a^7$ $8a^7 - 7a^6 = 0$ $a^6(8a - 7) = 0$ Это уравнение имеет два решения: $a = 0$ и $a = \frac{7}{8}$.

3. Проверяем для каждого найденного значения $a$ условие несовпадения касательных $f(a) \neq h(a)$.

Для $a = 0$: $f(0) = 0^7 = 0$ $h(0) = 0^8 = 0$ Так как $f(0) = h(0)$, касательные в этой точке совпадают (обе имеют уравнение $y=0$), а значит, имеют бесконечно много общих точек. Это значение не является решением.

Для $a = \frac{7}{8}$: $f(\frac{7}{8}) = (\frac{7}{8})^7$ $h(\frac{7}{8}) = (\frac{7}{8})^8$ Поскольку $\frac{7}{8} \neq 1$ и $\frac{7}{8} \neq 0$, то $(\frac{7}{8})^7 \neq (\frac{7}{8})^8$. Условие $f(a) \neq h(a)$ выполняется.

Ответ: $a = \frac{7}{8}$.

б) $f(x) = x^2 + x + 3, h(x) = x^3$

1. Находим производные функций: $f'(x) = (x^2 + x + 3)' = 2x + 1$ $h'(x) = (x^3)' = 3x^2$

2. Приравниваем значения производных в точке $x = a$: $f'(a) = h'(a) \Rightarrow 2a + 1 = 3a^2$ $3a^2 - 2a - 1 = 0$

3. Решаем полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$. Корни уравнения: $a_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ $a_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

4. Проверяем для каждого найденного значения $a$ условие $f(a) \neq h(a)$.

Для $a = 1$: $f(1) = 1^2 + 1 + 3 = 5$ $h(1) = 1^3 = 1$ Так как $5 \neq 1$, условие $f(1) \neq h(1)$ выполняется.

Для $a = -\frac{1}{3}$: $f(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^2 + (-\frac{1}{3}) + 3 = \frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{27}{9} = \frac{25}{9}$ $h(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1}{27}$ Так как $\frac{25}{9} \neq -\frac{1}{27}$, условие $f(-\frac{1}{3}) \neq h(-\frac{1}{3})$ выполняется.

Ответ: $a = -\frac{1}{3}, a = 1$.

41.48. а) При каких значениях $x$ выполняется равенство $f'(x) = 2$, если известно, что $f(x) = 2\sqrt{x} - 5x + 3$?

б) При каких значениях $x$ выполняется равенство $f'(x) = 1$, если известно, что $f(x) = 3x - \sqrt{x} + 13$?

а) Чтобы найти значения $x$, при которых выполняется равенство $f'(x) = 2$ для функции $f(x) = 2\sqrt{x} - 5x + 3$, сначала необходимо найти производную этой функции.

Область определения функции $f(x)$ — это $x \ge 0$.

Используем правила дифференцирования. Напомним, что производная от $\sqrt{x}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$f'(x) = (2\sqrt{x} - 5x + 3)' = 2 \cdot (\sqrt{x})' - (5x)' + (3)' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 5 + 0 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 5$.

Область определения производной $f'(x)$ — это $x > 0$.

Теперь приравняем производную к 2 и решим полученное уравнение:

$\frac{1}{\sqrt{x}} - 5 = 2$

$\frac{1}{\sqrt{x}} = 7$

$\sqrt{x} = \frac{1}{7}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = (\frac{1}{7})^2 = \frac{1}{49}$

Значение $x = \frac{1}{49}$ входит в область определения производной ($x>0$).

Ответ: $x = \frac{1}{49}$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых выполняется равенство $f'(x) = 1$ для функции $f(x) = 3x - \sqrt{x} + 13$, сначала найдем производную.

Область определения функции $f(x)$ — это $x \ge 0$.

Находим производную $f'(x)$:

$f'(x) = (3x - \sqrt{x} + 13)' = (3x)' - (\sqrt{x})' + (13)' = 3 - \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = 3 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Область определения производной $f'(x)$ — это $x > 0$.

Приравняем производную к 1 и решим уравнение:

$3 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$

$2 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$4\sqrt{x} = 1$

$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$

Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

Значение $x = \frac{1}{16}$ входит в область определения производной ($x>0$).

Ответ: $x = \frac{1}{16}$.

Решите неравенство $f'(x) < 0$:

41.49. a) $f(x) = x^3 - x^4$;

б) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3 + 6x$.

а) Дана функция $f(x) = x^3 - x^4$.

Чтобы решить неравенство $f'(x) < 0$, сначала найдем производную функции $f(x)$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (x^3 - x^4)' = (x^3)' - (x^4)' = 3x^2 - 4x^3$.

Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 - 4x^3 < 0$.

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(3 - 4x) < 0$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ при любом действительном $x$. Чтобы произведение было строго отрицательным, необходимо, чтобы $x^2$ было строго положительным, а второй множитель $(3 - 4x)$ был отрицательным.

1. $x^2 > 0$, что выполняется при $x \neq 0$.

2. $3 - 4x < 0$.

Решим второе неравенство:

$3 < 4x$

$x > \frac{3}{4}$.

Объединим оба условия: $x \neq 0$ и $x > \frac{3}{4}$. Интервал $x > \frac{3}{4}$ не содержит точку $x=0$, поэтому условие $x \neq 0$ выполняется автоматически.

Таким образом, решение неравенства — это $x > \frac{3}{4}$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{4}; +\infty)$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3 + 6x$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3 + 6x)' = \frac{1}{5}(5x^4) - \frac{5}{3}(3x^2) + 6 = x^4 - 5x^2 + 6$.

Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:

$x^4 - 5x^2 + 6 < 0$.

Это биквадратное неравенство. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.

Неравенство принимает вид:

$t^2 - 5t + 6 < 0$.

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Следовательно, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Графиком функции $y(t) = t^2 - 5t + 6$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Таким образом, решение для $t$ есть $2 < t < 3$.

Оба значения (2 и 3) удовлетворяют условию $t \ge 0$. Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = x^2$:

$2 < x^2 < 3$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 > 2 \\ x^2 < 3 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 > 2 \implies x^2 - 2 > 0 \implies (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) > 0$. Решением является объединение интервалов $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 < 3 \implies x^2 - 3 < 0 \implies (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) < 0$. Решением является интервал $x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.

Теперь найдем пересечение полученных решений: $(-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$ и $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.

Пересечение дает два интервала: $(-\sqrt{3}; -\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}; \sqrt{3})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{3}; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \sqrt{3})$.

41.50. a) $f(x) = \sin 2x;$

б) $f(x) = -4 \cos x + 2x.$

а)

Задача состоит в нахождении первообразной для функции $f(x) = \sin(2x)$.

Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем интегрирования: $F(x) = \int f(x) dx$.

Воспользуемся табличной формулой для интегрирования синуса от линейного аргумента: $\int \sin(kx+b) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

В нашем случае функция $f(x) = \sin(2x)$, где коэффициент $k=2$ и сдвиг $b=0$.

Подставляем значения в формулу:

$F(x) = \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$.

Проверим результат дифференцированием:
$F'(x) = (-\frac{1}{2}\cos(2x) + C)' = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin(2x)) \cdot (2x)' = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 = \sin(2x) = f(x)$.
Результат верен.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$.

б)

Задача состоит в нахождении первообразной для функции $f(x) = -4\cos x + 2x$.

Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных. Поэтому найдем первообразную для каждого слагаемого отдельно.

$F(x) = \int (-4\cos x + 2x) dx = \int (-4\cos x) dx + \int (2x) dx$.

1. Найдем первообразную для первого слагаемого $-4\cos x$.
Используем свойство $\int a \cdot g(x) dx = a \cdot \int g(x) dx$ и табличную первообразную для $\cos x$, которая равна $\sin x$.
$\int (-4\cos x) dx = -4 \int \cos x dx = -4\sin x$.

2. Найдем первообразную для второго слагаемого $2x$.
Используем формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. В данном случае $n=1$.
$\int 2x dx = 2 \int x^1 dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$.

3. Сложим полученные результаты и добавим общую произвольную постоянную $C$.
$F(x) = -4\sin x + x^2 + C$.

Проверим результат дифференцированием:
$F'(x) = (-4\sin x + x^2 + C)' = (-4\sin x)' + (x^2)' + (C)' = -4\cos x + 2x + 0 = -4\cos x + 2x = f(x)$.
Результат верен.

Ответ: $F(x) = x^2 - 4\sin x + C$.

Решите неравенство $f'(x) > 0$:

41.51. a) $f(x) = x^3 + x^4$;

б) $f(x) = \frac{4}{2 - 5x}$.

а)

Дана функция $f(x) = x^3 + x^4$.

Сначала найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^3 + x^4)' = (x^3)' + (x^4)' = 3x^2 + 4x^3$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$3x^2 + 4x^3 > 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(3 + 4x) > 0$

Выражение $x^2$ неотрицательно при любых значениях $x$. Так как неравенство строгое, то $x^2$ не может быть равно нулю, следовательно, $x \neq 0$. При $x \neq 0$ множитель $x^2$ всегда положителен.

Поэтому, чтобы произведение было положительным, второй множитель также должен быть положителен:

$3 + 4x > 0$

$4x > -3$

$x > - \frac{3}{4}$

Объединяя условия $x > - \frac{3}{4}$ и $x \neq 0$, получаем решение в виде объединения двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\frac{3}{4}, 0) \cup (0, +\infty)$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{4}{2-5x}$.

Найдем ее производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В нашем случае $u=4$ и $v=2-5x$.

$f'(x) = \left(\frac{4}{2 - 5x}\right)' = \frac{(4)'(2 - 5x) - 4(2 - 5x)'}{(2 - 5x)^2} = \frac{0 \cdot (2 - 5x) - 4(-5)}{(2 - 5x)^2} = \frac{20}{(2 - 5x)^2}$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\frac{20}{(2 - 5x)^2} > 0$

Числитель дроби, 20, является положительным числом. Знаменатель дроби, $(2 - 5x)^2$, является квадратом выражения и всегда положителен для всех значений $x$, при которых он определен (т.е. не равен нулю).

Найдем значение $x$, при котором знаменатель равен нулю:

$2 - 5x = 0 \implies 5x = 2 \implies x = \frac{2}{5}$.

При $x = \frac{2}{5}$ производная не определена. При всех остальных значениях $x$ знаменатель $(2 - 5x)^2$ строго положителен. Таким образом, дробь $\frac{20}{(2 - 5x)^2}$ (отношение положительного числа к положительному) будет всегда положительной.

Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из области определения производной.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, +\infty)$.

41.52. a) $f(x) = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$;

б) $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2}$.

а)

Дана функция $f(x) = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$.
Для того чтобы найти основной период функции, сначала упростим ее выражение. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
В данном случае, пусть $\alpha = \frac{x}{2}$. Подставив это в формулу, получаем:
$f(x) = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos(x)$.
Таким образом, исходная функция эквивалентна функции $f(x) = \cos(x)$.
Основной период для функции вида $y = A\cos(kx+b)$ определяется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
В функции $f(x) = \cos(x)$ коэффициент $k = 1$.
Следовательно, основной период функции равен $T = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

б)

Дана функция $f(x) = \sin^2\frac{x}{2}$.
Для нахождения основного периода этой функции, преобразуем ее, используя формулу понижения степени (которая является следствием формулы косинуса двойного угла): $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$. Применим формулу:
$f(x) = \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{x}{2})}{2} = \frac{1 - \cos(x)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(x)$.
Мы получили функцию, которая является линейным преобразованием функции $\cos(x)$. Вертикальный сдвиг на $\frac{1}{2}$ вверх, растяжение вдоль оси OY с коэффициентом $\frac{1}{2}$ и отражение относительно оси OX не изменяют период функции.
Период функции $f(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(x)$ совпадает с периодом функции $y=\cos(x)$.
Основной период для функции вида $y = A\cos(kx+b)$ определяется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Для функции $y=\cos(x)$ коэффициент $k=1$.
Следовательно, основной период функции равен $T = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.