Номер 41.59, страница 244, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.59. Известна производная функции $y = f'(x)$. Укажите, какой формулой можно задать функцию $y = f(x)$, если:

а) $f'(x) = 3x^2 + 2x;$

б) $f'(x) = -\frac{7}{x^2};$

в) $f'(x) = 5x^4 - 1;$

г) $f'(x) = \frac{9}{2\sqrt{x}}.$

Чтобы найти функцию $y = f(x)$ по её известной производной $f'(x)$, необходимо выполнить операцию, обратную дифференцированию, то есть найти первообразную (или неопределённый интеграл) от функции $f'(x)$. Общая формула для первообразной степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

а) Дана производная $f'(x) = 3x^2 + 2x$.

Находим первообразную, используя правило интегрирования суммы функций и степенной функции:

$f(x) = \int (3x^2 + 2x) dx = \int 3x^2 dx + \int 2x dx$

$f(x) = 3 \int x^2 dx + 2 \int x^1 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C$

Выполнив вычисления, получаем:

$f(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^3 + x^2 + C$

Ответ: $f(x) = x^3 + x^2 + C$.

б) Дана производная $f'(x) = -\frac{7}{x^2}$.

Для интегрирования представим её в виде степенной функции: $f'(x) = -7x^{-2}$.

Теперь найдём первообразную:

$f(x) = \int (-7x^{-2}) dx = -7 \int x^{-2} dx = -7 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C$

$f(x) = -7 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = 7x^{-1} + C$

Запишем результат в виде дроби:

$f(x) = \frac{7}{x} + C$

Ответ: $f(x) = \frac{7}{x} + C$.

в) Дана производная $f'(x) = 5x^4 - 1$.

Находим первообразную, интегрируя функцию:

$f(x) = \int (5x^4 - 1) dx = \int 5x^4 dx - \int 1 dx$

Применяя правило интегрирования степенной функции и интеграл от константы, получаем:

$f(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - x + C = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - x + C$

Упростив выражение, имеем:

$f(x) = x^5 - x + C$

Ответ: $f(x) = x^5 - x + C$.

г) Дана производная $f'(x) = \frac{9}{2\sqrt{x}}$.

Для удобства интегрирования представим функцию в виде степенной: $f'(x) = \frac{9}{2}x^{-1/2}$.

Найдём первообразную:

$f(x) = \int \frac{9}{2}x^{-1/2} dx = \frac{9}{2} \int x^{-1/2} dx$

Используем формулу интегрирования степенной функции:

$f(x) = \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$

Упрощая выражение, получаем:

$f(x) = \frac{9}{2} \cdot 2x^{1/2} + C = 9x^{1/2} + C = 9\sqrt{x} + C$

Ответ: $f(x) = 9\sqrt{x} + C$.