Номер 41.61, страница 245, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.61. a) При каких значениях $x$ верно равенство $y' \cdot y + y^2 = 0$, если $y = 2 \sin x$?

б) При каких значениях $x$ верно равенство $y^2 + (y')^2 = 1$, если $y = \sqrt{x}$?

а)

Дано равенство $y' \cdot y + y^2 = 0$ и функция $y = 2 \sin x$. Чтобы найти значения $x$, при которых равенство верно, нужно найти производную функции, подставить ее и саму функцию в равенство и решить полученное уравнение.

1. Найдем производную функции $y$:
$y' = (2 \sin x)' = 2 \cos x$.

2. Подставим выражения для $y$ и $y'$ в исходное равенство:
$(2 \cos x) \cdot (2 \sin x) + (2 \sin x)^2 = 0$.

3. Упростим полученное тригонометрическое уравнение:
$4 \sin x \cos x + 4 \sin^2 x = 0$
Вынесем за скобки общий множитель $4 \sin x$:
$4 \sin x (\cos x + \sin x) = 0$.

4. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $4 \sin x = 0$
$\sin x = 0$
$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos x + \sin x = 0$
$\sin x = -\cos x$
Предполагая, что $\cos x \neq 0$, разделим обе части на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$
$\tan x = -1$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
(Проверим наше предположение: если бы $\cos x = 0$, то из уравнения $\sin x = -\cos x$ следовало бы, что и $\sin x = 0$. Но синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и деление было корректным).

Таким образом, исходное равенство верно при двух сериях значений $x$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано равенство $y^2 + (y')^2 = 1$ и функция $y = \sqrt{x}$.

1. Сначала определим область допустимых значений $x$. Функция $y = \sqrt{x}$ определена при $x \ge 0$.

2. Найдем производную функции $y$:
$y' = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Производная $y'$ определена при $x > 0$. Таким образом, любое решение уравнения должно удовлетворять условию $x > 0$.

3. Подставим выражения для $y$ и $y'$ в исходное равенство:
$(\sqrt{x})^2 + \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2 = 1$.

4. Упростим и решим полученное уравнение относительно $x$:
$x + \frac{1}{4x} = 1$
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $4x$ (мы можем это сделать, так как $x > 0$, следовательно $4x \neq 0$):
$4x \cdot x + 4x \cdot \frac{1}{4x} = 1 \cdot 4x$
$4x^2 + 1 = 4x$.

5. Перенесем все члены в левую часть и решим квадратное уравнение:
$4x^2 - 4x + 1 = 0$
Это выражение является полным квадратом разности:
$(2x - 1)^2 = 0$
$2x - 1 = 0$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$.

6. Проверим, удовлетворяет ли найденное значение области допустимых значений. Условие было $x > 0$. Значение $x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.