Номер 41.63, страница 245, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.63. При каких значениях a и b функция

$y = \begin{cases} \frac{x^2 + 3}{4}, & \text{если } x \leq -1, \\ ax^3 + bx, & \text{если } x > -1: \end{cases}$

a) непрерывна на всей числовой прямой;

б) дифференцируема на всей числовой прямой?

а) непрерывна на всей числовой прямой;

Данная функция $y(x)$ определена кусочно. На интервалах $(-\infty, -1)$ и $(-1, +\infty)$ она задана многочленами, которые являются непрерывными функциями. Следовательно, единственная точка, в которой непрерывность может нарушаться, — это точка "стыка" $x = -1$.

Для того чтобы функция была непрерывна в точке $x = -1$, необходимо и достаточно, чтобы предел функции слева, предел справа и значение функции в этой точке совпадали: $ \lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^+} y(x) = y(-1) $

Найдем значение функции в точке $x = -1$. Согласно определению, при $x \le -1$ используется первая формула: $ y(-1) = \frac{(-1)^2 + 3}{4} = \frac{1+3}{4} = 1 $

Предел слева в точке $x = -1$ также равен значению функции в этой точке: $ \lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2 + 3}{4} = \frac{(-1)^2 + 3}{4} = 1 $

Найдем предел справа в точке $x = -1$. При $x > -1$ используется вторая формула: $ \lim_{x \to -1^+} y(x) = \lim_{x \to -1^+} (ax^3 + bx) = a(-1)^3 + b(-1) = -a - b $

Приравниваем предел слева и предел справа: $ 1 = -a - b $ Отсюда получаем условие на коэффициенты $a$ и $b$: $ a + b = -1 $

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой при любых значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a + b = -1$.

б) дифференцируема на всей числовой прямой?

Для того чтобы функция была дифференцируема на всей числовой прямой, она должна быть, во-первых, непрерывна на всей прямой, и, во-вторых, ее производная должна существовать в каждой точке.

Из пункта а) мы знаем, что для непрерывности должно выполняться условие: $ a + b = -1 $ (1)

Теперь рассмотрим условие дифференцируемости в точке $x = -1$. Для этого производные слева и справа в этой точке должны быть равны. Найдем производную функции для каждого из интервалов.

При $x < -1$: $ y'(x) = \left(\frac{x^2 + 3}{4}\right)' = \left(\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}\right)' = \frac{1}{4} \cdot 2x = \frac{1}{2}x $

При $x > -1$: $ y'(x) = (ax^3 + bx)' = 3ax^2 + b $

Теперь вычислим односторонние производные (пределы производных) в точке $x = -1$:
Производная слева: $ y'(-1^-) = \lim_{x \to -1^-} y'(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{2} $

Производная справа: $ y'(-1^+) = \lim_{x \to -1^+} y'(x) = \lim_{x \to -1^+} (3ax^2 + b) = 3a(-1)^2 + b = 3a + b $

Для дифференцируемости в точке $x = -1$ необходимо равенство этих производных: $ y'(-1^-) = y'(-1^+) $
$ -\frac{1}{2} = 3a + b $ (2)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$: $ \begin{cases} a + b = -1 \\ 3a + b = -\frac{1}{2} \end{cases} $

Вычтем из второго уравнения первое: $ (3a + b) - (a + b) = -\frac{1}{2} - (-1) $
$ 2a = -\frac{1}{2} + 1 $
$ 2a = \frac{1}{2} $
$ a = \frac{1}{4} $

Теперь найдем $b$ из первого уравнения: $ b = -1 - a = -1 - \frac{1}{4} = -\frac{4}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{5}{4} $

Ответ: функция дифференцируема на всей числовой прямой при $a = \frac{1}{4}$ и $b = -\frac{5}{4}$.