Номер 41.67, страница 245, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41.67. a) При каких значениях x верно равенство $y'' + y' - y = 0$, если $y = 3 \cos x$?

б) При каких значениях x верно равенство $(y'')^2 + 2y' = y^2 + 1$, если $y = \sin x$?

а)

Для того чтобы определить, при каких значениях $x$ верно равенство $y'' + y' - y = 0$ для функции $y = 3 \cos x$, необходимо найти первую и вторую производные этой функции и подставить их в данное уравнение.

1. Находим первую производную $y'$:
$y' = (3 \cos x)' = 3 \cdot (-\sin x) = -3 \sin x$.

2. Находим вторую производную $y''$:
$y'' = (-3 \sin x)' = -3 \cos x$.

3. Подставляем выражения для $y$, $y'$ и $y''$ в исходное равенство:
$(-3 \cos x) + (-3 \sin x) - (3 \cos x) = 0$.

4. Упрощаем полученное выражение и решаем тригонометрическое уравнение:
$-3 \cos x - 3 \sin x - 3 \cos x = 0$
$-6 \cos x - 3 \sin x = 0$
Разделим обе части на $-3$:
$2 \cos x + \sin x = 0$
$\sin x = -2 \cos x$.

5. Чтобы решить это уравнение, разделим обе его части на $\cos x$. Это возможно, так как если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin x = 0$, что невозможно одновременно (согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$).
$\frac{\sin x}{\cos x} = -2$
$\tan x = -2$.

Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \arctan(-2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как функция $\arctan$ нечетная, то $\arctan(-2) = -\arctan(2)$.
$x = -\arctan(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(2) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Для того чтобы определить, при каких значениях $x$ верно равенство $(y'')^2 + 2y' = y^2 + 1$ для функции $y = \sin x$, мы также найдем первую и вторую производные и подставим их в уравнение.

1. Находим первую производную $y'$:
$y' = (\sin x)' = \cos x$.

2. Находим вторую производную $y''$:
$y'' = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Подставляем выражения для $y$, $y'$ и $y''$ в исходное равенство:
$(-\sin x)^2 + 2(\cos x) = (\sin x)^2 + 1$.

4. Упрощаем полученное уравнение:
$\sin^2 x + 2 \cos x = \sin^2 x + 1$.
Вычитаем $\sin^2 x$ из обеих частей равенства:
$2 \cos x = 1$
$\cos x = \frac{1}{2}$.

5. Находим общее решение для $x$:
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.