Номер 42.1, страница 246, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите производную функции:

42.1. а) $y = (4x - 9)^7;$

б) $y = \left(12 - \frac{x}{5}\right)^6;$

в) $y = \left(\frac{x}{3} + 2\right)^{12};$

г) $y = (15 - 9x)^{13}.$

а) Для нахождения производной функции $y = (4x - 9)^7$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $f(u) = u^7$, а внутренняя — линейная функция $g(x) = 4x - 9$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (u^7)' = 7u^6$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (4x - 9)' = 4$.
Подставляем наши функции в формулу производной сложной функции:
$y' = 7(4x - 9)^{7-1} \cdot (4x - 9)' = 7(4x - 9)^6 \cdot 4 = 28(4x - 9)^6$.
Ответ: $y' = 28(4x - 9)^6$.

б) Для функции $y = \left(12 - \frac{x}{5}\right)^6$ применяем то же правило.
Внешняя функция: $f(u) = u^6$, ее производная $f'(u) = 6u^5$.
Внутренняя функция: $g(x) = 12 - \frac{x}{5}$, ее производная $g'(x) = \left(12 - \frac{1}{5}x\right)' = -\frac{1}{5}$.
Применяем цепное правило:
$y' = 6\left(12 - \frac{x}{5}\right)^{6-1} \cdot \left(12 - \frac{x}{5}\right)' = 6\left(12 - \frac{x}{5}\right)^5 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{6}{5}\left(12 - \frac{x}{5}\right)^5$.
Ответ: $y' = -\frac{6}{5}\left(12 - \frac{x}{5}\right)^5$.

в) Находим производную функции $y = \left(\frac{x}{3} + 2\right)^{12}$.
Внешняя функция: $f(u) = u^{12}$, ее производная $f'(u) = 12u^{11}$.
Внутренняя функция: $g(x) = \frac{x}{3} + 2$, ее производная $g'(x) = \left(\frac{1}{3}x + 2\right)' = \frac{1}{3}$.
По цепному правилу:
$y' = 12\left(\frac{x}{3} + 2\right)^{12-1} \cdot \left(\frac{x}{3} + 2\right)' = 12\left(\frac{x}{3} + 2\right)^{11} \cdot \frac{1}{3} = 4\left(\frac{x}{3} + 2\right)^{11}$.
Ответ: $y' = 4\left(\frac{x}{3} + 2\right)^{11}$.

г) Находим производную функции $y = (15 - 9x)^{13}$.
Внешняя функция: $f(u) = u^{13}$, ее производная $f'(u) = 13u^{12}$.
Внутренняя функция: $g(x) = 15 - 9x$, ее производная $g'(x) = (15 - 9x)' = -9$.
По цепному правилу:
$y' = 13(15 - 9x)^{13-1} \cdot (15 - 9x)' = 13(15 - 9x)^{12} \cdot (-9) = -117(15 - 9x)^{12}$.
Ответ: $y' = -117(15 - 9x)^{12}$.