Страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

39.38. Найдите приращение функции $y = \sqrt{x}$ при переходе от точки $x_0 = 1$ к точке $x_1 = x_0 + \Delta x$, если:

а) $\Delta x = 0,44$;

б) $\Delta x = -0,19$;

в) $\Delta x = 0,21$;

г) $\Delta x = 0,1025$.

Приращение функции $\Delta y$ определяется как разность значений функции в конечной точке $x_1 = x_0 + \Delta x$ и начальной точке $x_0$. Формула для вычисления приращения функции:

$\Delta y = f(x_1) - f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

В данной задаче нам дана функция $y = f(x) = \sqrt{x}$ и начальная точка $x_0 = 1$. Подставив эти значения в общую формулу, получаем выражение для вычисления приращения в этой задаче:

$\Delta y = \sqrt{1 + \Delta x} - \sqrt{1} = \sqrt{1 + \Delta x} - 1$

Теперь найдем приращение функции для каждого из заданных значений $\Delta x$.

а) При $\Delta x = 0,44$.

Находим конечную точку: $x_1 = x_0 + \Delta x = 1 + 0,44 = 1,44$.

Вычисляем значение функции в начальной точке: $f(x_0) = f(1) = \sqrt{1} = 1$.

Вычисляем значение функции в конечной точке: $f(x_1) = f(1,44) = \sqrt{1,44} = 1,2$.

Приращение функции равно:

$\Delta y = f(x_1) - f(x_0) = 1,2 - 1 = 0,2$.

Ответ: $0,2$.

б) При $\Delta x = -0,19$.

Находим конечную точку: $x_1 = x_0 + \Delta x = 1 + (-0,19) = 0,81$.

Значение функции в начальной точке: $f(x_0) = f(1) = \sqrt{1} = 1$.

Значение функции в конечной точке: $f(x_1) = f(0,81) = \sqrt{0,81} = 0,9$.

Приращение функции равно:

$\Delta y = f(x_1) - f(x_0) = 0,9 - 1 = -0,1$.

Ответ: $-0,1$.

в) При $\Delta x = 0,21$.

Находим конечную точку: $x_1 = x_0 + \Delta x = 1 + 0,21 = 1,21$.

Значение функции в начальной точке: $f(x_0) = f(1) = \sqrt{1} = 1$.

Значение функции в конечной точке: $f(x_1) = f(1,21) = \sqrt{1,21} = 1,1$.

Приращение функции равно:

$\Delta y = f(x_1) - f(x_0) = 1,1 - 1 = 0,1$.

Ответ: $0,1$.

г) При $\Delta x = 0,1025$.

Находим конечную точку: $x_1 = x_0 + \Delta x = 1 + 0,1025 = 1,1025$.

Значение функции в начальной точке: $f(x_0) = f(1) = \sqrt{1} = 1$.

Значение функции в конечной точке: $f(x_1) = f(1,1025) = \sqrt{1,1025} = 1,05$.

Приращение функции равно:

$\Delta y = f(x_1) - f(x_0) = 1,05 - 1 = 0,05$.

Ответ: $0,05$.

39.39. По графику функции, представленному на рисунке, найдите приращение аргумента и приращение функции при переходе от точки $x_0$ к точке $x_1$.

a) рис. 81;

б) рис. 82.

$y = \sqrt{x}$

Рис. 81

$y = x^2$

Рис. 82

а) рис. 81;

Приращение аргумента, обозначаемое как $\Delta x$, – это разность между конечным ($x_1$) и начальным ($x_0$) значениями аргумента: $\Delta x = x_1 - x_0$. Приращение функции, обозначаемое как $\Delta y$, – это соответствующая разность значений функции: $\Delta y = y_1 - y_0 = f(x_1) - f(x_0)$.

На графике (рис. 81) представлена функция $y = \sqrt{x}$. Для нахождения приращений нам необходимо определить координаты начальной точки $(x_0, y_0)$ и конечной точки $(x_1, y_1)$.

1. Из графика видно, что ордината начальной точки $y_0 = 2$. Поскольку точка принадлежит графику функции $y = \sqrt{x}$, мы можем найти ее абсциссу $x_0$ из уравнения $2 = \sqrt{x_0}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x_0 = 4$.

2. По графику определяем абсциссу конечной точки: $x_1 = 1$. Вычисляем соответствующую ординату: $y_1 = \sqrt{x_1} = \sqrt{1} = 1$.

3. Теперь вычисляем приращения:
Приращение аргумента: $\Delta x = x_1 - x_0 = 1 - 4 = -3$.
Приращение функции: $\Delta y = y_1 - y_0 = 1 - 2 = -1$.

Ответ: приращение аргумента $\Delta x = -3$, приращение функции $\Delta y = -1$.

б) рис. 82.

На графике (рис. 82) представлена функция $y = x^2$. Аналогично предыдущему пункту, найдем приращения аргумента и функции при переходе от точки $x_0$ к точке $x_1$.

1. По координатной сетке на графике определяем абсциссу начальной точки: $x_0 = -3$. Соответствующая ордината $y_0$ также указана на графике и равна 9. Мы можем проверить это, подставив $x_0$ в уравнение функции: $y_0 = (x_0)^2 = (-3)^2 = 9$.

2. По графику определяем абсциссу конечной точки: $x_1 = -1$. Вычисляем соответствующую ординату: $y_1 = (x_1)^2 = (-1)^2 = 1$. Это значение также соответствует точке на графике.

3. Вычисляем приращения:
Приращение аргумента: $\Delta x = x_1 - x_0 = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$.
Приращение функции: $\Delta y = y_1 - y_0 = 1 - 9 = -8$.

Ответ: приращение аргумента $\Delta x = 2$, приращение функции $\Delta y = -8$.

39.40. Найдите приращение функции $y = 4x^2 - x$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$:

а) $x = 0, \Delta x = 0,5;$

б) $x = 1, \Delta x = -0,1;$

в) $x = 0, \Delta x = -0,5;$

г) $x = 1, \Delta x = 0,1.$

Приращение функции $\Delta y$ (или $\Delta f$) при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$ вычисляется по формуле:

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$

Для заданной функции $y = f(x) = 4x^2 - x$ найдем приращение для каждого случая.

а) $x = 0, \Delta x = 0,5$

1. Найдем значение функции в начальной точке $x=0$:

$f(x) = f(0) = 4 \cdot 0^2 - 0 = 0$

2. Найдем значение функции в новой точке $x + \Delta x = 0 + 0,5 = 0,5$:

$f(x + \Delta x) = f(0,5) = 4 \cdot (0,5)^2 - 0,5 = 4 \cdot 0,25 - 0,5 = 1 - 0,5 = 0,5$

3. Вычислим приращение функции:

$\Delta y = f(0,5) - f(0) = 0,5 - 0 = 0,5$

Ответ: $0,5$

б) $x = 1, \Delta x = -0,1$

1. Найдем значение функции в начальной точке $x=1$:

$f(x) = f(1) = 4 \cdot 1^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

2. Найдем значение функции в новой точке $x + \Delta x = 1 + (-0,1) = 0,9$:

$f(x + \Delta x) = f(0,9) = 4 \cdot (0,9)^2 - 0,9 = 4 \cdot 0,81 - 0,9 = 3,24 - 0,9 = 2,34$

3. Вычислим приращение функции:

$\Delta y = f(0,9) - f(1) = 2,34 - 3 = -0,66$

Ответ: $-0,66$

в) $x = 0, \Delta x = -0,5$

1. Найдем значение функции в начальной точке $x=0$:

$f(x) = f(0) = 4 \cdot 0^2 - 0 = 0$

2. Найдем значение функции в новой точке $x + \Delta x = 0 + (-0,5) = -0,5$:

$f(x + \Delta x) = f(-0,5) = 4 \cdot (-0,5)^2 - (-0,5) = 4 \cdot 0,25 + 0,5 = 1 + 0,5 = 1,5$

3. Вычислим приращение функции:

$\Delta y = f(-0,5) - f(0) = 1,5 - 0 = 1,5$

Ответ: $1,5$

г) $x = 1, \Delta x = 0,1$

1. Найдем значение функции в начальной точке $x=1$:

$f(x) = f(1) = 4 \cdot 1^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

2. Найдем значение функции в новой точке $x + \Delta x = 1 + 0,1 = 1,1$:

$f(x + \Delta x) = f(1,1) = 4 \cdot (1,1)^2 - 1,1 = 4 \cdot 1,21 - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74$

3. Вычислим приращение функции:

$\Delta y = f(1,1) - f(1) = 3,74 - 3 = 0,74$

Ответ: $0,74$

39.41. Найдите приращение функции $y = f(x)$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$, если:

a) $f(x) = 3x + 5;$

б) $f(x) = -x^2;$

в) $f(x) = 4 - 2x;$

г) $f(x) = 2x^2.$

Приращение функции $\Delta y$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$ находится по формуле: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$.

а) Дана функция $f(x) = 3x + 5$.
1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:
$f(x + \Delta x) = 3(x + \Delta x) + 5 = 3x + 3\Delta x + 5$.
2. Теперь найдем приращение функции, вычитая $f(x)$ из $f(x + \Delta x)$:
$\Delta y = (3x + 3\Delta x + 5) - (3x + 5) = 3x + 3\Delta x + 5 - 3x - 5 = 3\Delta x$.
Ответ: $3\Delta x$.

б) Дана функция $f(x) = -x^2$.
1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:
$f(x + \Delta x) = -(x + \Delta x)^2 = -(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) = -x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2$.
2. Найдем приращение функции:
$\Delta y = (-x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2) - (-x^2) = -x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2 + x^2 = -2x\Delta x - (\Delta x)^2$.
Ответ: $-2x\Delta x - (\Delta x)^2$.

в) Дана функция $f(x) = 4 - 2x$.
1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:
$f(x + \Delta x) = 4 - 2(x + \Delta x) = 4 - 2x - 2\Delta x$.
2. Найдем приращение функции:
$\Delta y = (4 - 2x - 2\Delta x) - (4 - 2x) = 4 - 2x - 2\Delta x - 4 + 2x = -2\Delta x$.
Ответ: $-2\Delta x$.

г) Дана функция $f(x) = 2x^2$.
1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:
$f(x + \Delta x) = 2(x + \Delta x)^2 = 2(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) = 2x^2 + 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2$.
2. Найдем приращение функции:
$\Delta y = (2x^2 + 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2) - (2x^2) = 2x^2 + 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2 - 2x^2 = 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2$.
Ответ: $4x\Delta x + 2(\Delta x)^2$.

39.42. Вычислите, чему равно отношение приращения функции $y = x^2 - 4x + 1$ к приращению аргумента при переходе от точки $x_0 = 2$ к точке:

а) $x = 2,1$;

б) $x = 1,9$;

в) $x = 2,5$;

г) $x = 1,5$.

Отношение приращения функции к приращению аргумента вычисляется по формуле:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

В данной задаче функция $y = f(x) = x^2 - 4x + 1$ и начальная точка $x_0 = 2$.

Сначала найдем значение функции в начальной точке $x_0$:

$y_0 = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$.

Теперь подставим выражения для $f(x)$ и $f(x_0)$ в формулу отношения приращений:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(x^2 - 4x + 1) - (-3)}{x - 2} = \frac{x^2 - 4x + 1 + 3}{x - 2} = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$.

Заметим, что числитель является полным квадратом разности: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Упростим выражение:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(x - 2)^2}{x - 2} = x - 2$ (при $x \neq 2$).

Теперь, используя эту упрощенную формулу, вычислим отношение для каждого из заданных случаев.

а) При переходе от точки $x_0 = 2$ к точке $x = 2,1$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 2,1 - 2 = 0,1$.
Ответ: $0,1$.

б) При переходе от точки $x_0 = 2$ к точке $x = 1,9$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 1,9 - 2 = -0,1$.
Ответ: $-0,1$.

в) При переходе от точки $x_0 = 2$ к точке $x = 2,5$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 2,5 - 2 = 0,5$.
Ответ: $0,5$.

г) При переходе от точки $x_0 = 2$ к точке $x = 1,5$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 1,5 - 2 = -0,5$.
Ответ: $-0,5$.

39.43. Для функции $y = f(x)$ найдите $\Delta f$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$, если:

a) $f(x) = kx + m;$

б) $f(x) = ax^2;$

в) $f(x) = \frac{1}{x};$

г) $f(x) = \sqrt{x}.$

Приращение функции $\Delta f$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$ находится по определению: $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$.

а) Для функции $f(x) = kx + m$.

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = k(x + \Delta x) + m = kx + k\Delta x + m$

2. Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (kx + k\Delta x + m) - (kx + m)$

$\Delta f = kx + k\Delta x + m - kx - m = k\Delta x$

Ответ: $k\Delta x$.

б) Для функции $f(x) = ax^2$.

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = a(x + \Delta x)^2 = a(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) = ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2$

2. Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2) - ax^2$

$\Delta f = 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 = a\Delta x(2x + \Delta x)$

Ответ: $a\Delta x(2x + \Delta x)$.

в) Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$.

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = \frac{1}{x + \Delta x}$

2. Найдем приращение функции $\Delta f$, приведя дроби к общему знаменателю:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)}$

$\Delta f = \frac{x - x - \Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$

Ответ: $\frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$.

г) Для функции $f(x) = \sqrt{x}$.

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = \sqrt{x + \Delta x}$

2. Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}$

3. Для удобства преобразуем выражение, умножив и разделив его на сопряженное выражение $\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}$:

$\Delta f = \frac{(\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x})(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$

Используя формулу разности квадратов в числителе, получаем:

$\Delta f = \frac{(x + \Delta x) - x}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{\Delta x}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{\Delta x}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$.