Номер 39.43, страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.43. Для функции $y = f(x)$ найдите $\Delta f$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$, если:

a) $f(x) = kx + m;$

б) $f(x) = ax^2;$

в) $f(x) = \frac{1}{x};$

г) $f(x) = \sqrt{x}.$

Приращение функции $\Delta f$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$ находится по определению: $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$.

а) Для функции $f(x) = kx + m$.

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = k(x + \Delta x) + m = kx + k\Delta x + m$

2. Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (kx + k\Delta x + m) - (kx + m)$

$\Delta f = kx + k\Delta x + m - kx - m = k\Delta x$

Ответ: $k\Delta x$.

б) Для функции $f(x) = ax^2$.

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = a(x + \Delta x)^2 = a(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) = ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2$

2. Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2) - ax^2$

$\Delta f = 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 = a\Delta x(2x + \Delta x)$

Ответ: $a\Delta x(2x + \Delta x)$.

в) Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$.

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = \frac{1}{x + \Delta x}$

2. Найдем приращение функции $\Delta f$, приведя дроби к общему знаменателю:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)}$

$\Delta f = \frac{x - x - \Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$

Ответ: $\frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$.

г) Для функции $f(x) = \sqrt{x}$.

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = \sqrt{x + \Delta x}$

2. Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}$

3. Для удобства преобразуем выражение, умножив и разделив его на сопряженное выражение $\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}$:

$\Delta f = \frac{(\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x})(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$

Используя формулу разности квадратов в числителе, получаем:

$\Delta f = \frac{(x + \Delta x) - x}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{\Delta x}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{\Delta x}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$.