Номер 39.44, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.44. Для функции $y = f(x)$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$, если:

a) $f(x) = kx + b$;

б) $f(x) = ax^2$;

в) $f(x) = \frac{1}{x}$;

г) $f(x) = \sqrt{x}$.

Общая формула для нахождения отношения приращения функции к приращению аргумента (разностного отношения) выглядит так:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Применим эту формулу для каждой из предложенных функций.

а) Для функции $f(x) = kx + b$.

Сначала найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (k(x + \Delta x) + b) - (kx + b)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\Delta f = kx + k\Delta x + b - kx - b = k\Delta x$

Теперь разделим приращение функции на приращение аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{k\Delta x}{\Delta x} = k$

Ответ: $k$.

б) Для функции $f(x) = ax^2$.

Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = a(x + \Delta x)^2 - ax^2$

Раскроем квадрат суммы и упростим:

$\Delta f = a(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - ax^2 = ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 - ax^2 = 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2$

Найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2ax\Delta x + a(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2ax + a\Delta x)}{\Delta x} = 2ax + a\Delta x$

Ответ: $2ax + a\Delta x$.

в) Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$.

Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x + \Delta x)$:

$\Delta f = \frac{x - (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{x - x - \Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$

Найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)\Delta x} = -\frac{1}{x(x + \Delta x)}$

Ответ: $-\frac{1}{x(x + \Delta x)}$.

г) Для функции $f(x) = \sqrt{x}$.

Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}$

Найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}$

Чтобы упростить это выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к числителю, то есть на $(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{(\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x})(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}$

Сократим $\Delta x$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$.