Страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Замените данное выражение выражением $T(t)$, где $T$ — обозначение соответствующей тригонометрической функции:

$\operatorname{sin}\left(\frac{\pi}{2}+t\right)$, $\operatorname{cos}(\pi+t)$, $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)$, $\operatorname{ctg}(2\pi+t)$.

Для решения данной задачи мы воспользуемся формулами приведения. Общее мнемоническое правило для их применения состоит из двух шагов:

1. Определение знака: мысленно предполагаем, что угол $t$ находится в первой четверти ($0 < t < \frac{\pi}{2}$). Определяем, в какой четверти находится весь аргумент функции, и ставим тот знак, который имеет исходная функция в этой четверти.
2. Определение функции: если в аргументе содержатся углы $\pi$ или $2\pi$ (точки на горизонтальной оси единичной окружности), то название функции не меняется. Если в аргументе содержатся углы $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ (точки на вертикальной оси), то название функции меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).

Применим это правило к каждому выражению.

$\sin(\frac{\pi}{2} + t)$

1. Определяем знак. Если $t$ — угол первой четверти, то угол $\frac{\pi}{2} + t$ находится во второй четверти. Синус во второй четверти имеет знак «+».

2. Определяем функцию. Аргумент содержит $\frac{\pi}{2}$, значит, функция $\sin$ меняется на кофункцию $\cos$.

В результате получаем: $\sin(\frac{\pi}{2} + t) = \cos(t)$.

Ответ: $\cos(t)$

$\cos(\pi + t)$

1. Определяем знак. Если $t$ — угол первой четверти, то угол $\pi + t$ находится в третьей четверти. Косинус в третьей четверти имеет знак «–».

2. Определяем функцию. Аргумент содержит $\pi$, значит, функция $\cos$ не меняется.

В результате получаем: $\cos(\pi + t) = -\cos(t)$.

Ответ: $-\cos(t)$

$\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + t)$

1. Определяем знак. Если $t$ — угол первой четверти, то угол $\frac{3\pi}{2} + t$ находится в четвертой четверти. Тангенс в четвертой четверти имеет знак «–» (так как $\sin < 0$ и $\cos > 0$).

2. Определяем функцию. Аргумент содержит $\frac{3\pi}{2}$, значит, функция $\text{tg}$ меняется на кофункцию $\text{ctg}$.

В результате получаем: $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + t) = -\text{ctg}(t)$.

Ответ: $-\text{ctg}(t)$

$\text{ctg}(2\pi + t)$

Для этого выражения можно использовать свойство периодичности. Период функций тангенса и котангенса равен $\pi$, а синуса и косинуса — $2\pi$. Это означает, что значения этих функций повторяются через каждый период.

Поскольку $2\pi$ является периодом для тригонометрических функций (и кратно периоду котангенса, $2\pi = 2 \cdot \pi$), мы можем просто отбросить это слагаемое из аргумента:

$\text{ctg}(2\pi + t) = \text{ctg}(t)$.

Если применять общее правило приведения:

1. Определяем знак. Угол $2\pi + t$ находится в той же четверти, что и угол $t$. В первой четверти котангенс имеет знак «+».

2. Определяем функцию. Аргумент содержит $2\pi$, значит, функция $\text{ctg}$ не меняется.

Оба подхода дают одинаковый результат.

Ответ: $\text{ctg}(t)$

39.44. Для функции $y = f(x)$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$, если:

a) $f(x) = kx + b$;

б) $f(x) = ax^2$;

в) $f(x) = \frac{1}{x}$;

г) $f(x) = \sqrt{x}$.

Общая формула для нахождения отношения приращения функции к приращению аргумента (разностного отношения) выглядит так:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Применим эту формулу для каждой из предложенных функций.

а) Для функции $f(x) = kx + b$.

Сначала найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (k(x + \Delta x) + b) - (kx + b)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\Delta f = kx + k\Delta x + b - kx - b = k\Delta x$

Теперь разделим приращение функции на приращение аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{k\Delta x}{\Delta x} = k$

Ответ: $k$.

б) Для функции $f(x) = ax^2$.

Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = a(x + \Delta x)^2 - ax^2$

Раскроем квадрат суммы и упростим:

$\Delta f = a(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - ax^2 = ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 - ax^2 = 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2$

Найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2ax\Delta x + a(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2ax + a\Delta x)}{\Delta x} = 2ax + a\Delta x$

Ответ: $2ax + a\Delta x$.

в) Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$.

Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x + \Delta x)$:

$\Delta f = \frac{x - (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{x - x - \Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$

Найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)\Delta x} = -\frac{1}{x(x + \Delta x)}$

Ответ: $-\frac{1}{x(x + \Delta x)}$.

г) Для функции $f(x) = \sqrt{x}$.

Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}$

Найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}$

Чтобы упростить это выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к числителю, то есть на $(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{(\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x})(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}$

Сократим $\Delta x$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$.

39.45. Для функции $y = f(x)$ найдите $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$, если:

а) $f(x) = kx + b$;

б) $f(x) = ax^2$;

в) $f(x) = \frac{1}{x}$;

г) $f(x) = \sqrt{x}$.

Искомый предел $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$ по определению является производной функции $f(x)$, которая обозначается как $f'(x)$. Для нахождения этого предела необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$.
2. Составить отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$.
3. Вычислить предел этого отношения при $\Delta x \to 0$.

Применим этот алгоритм для каждой из заданных функций.

а) $f(x) = kx + b$

1. Найдем приращение функции:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (k(x + \Delta x) + b) - (kx + b) = kx + k\Delta x + b - kx - b = k\Delta x$

2. Составим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{k\Delta x}{\Delta x} = k$

3. Найдем предел:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} k = k$

Ответ: $k$.

б) $f(x) = ax^2$

1. Найдем приращение функции:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = a(x + \Delta x)^2 - ax^2 = a(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - ax^2$

$= ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 - ax^2 = 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2$

2. Составим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2ax\Delta x + a(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2ax + a\Delta x)}{\Delta x} = 2ax + a\Delta x$

3. Найдем предел:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2ax + a\Delta x) = 2ax + a \cdot 0 = 2ax$

Ответ: $2ax$.

в) $f(x) = \frac{1}{x}$

1. Найдем приращение функции:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$

2. Составим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = \frac{-\Delta x}{\Delta x \cdot x(x + \Delta x)} = -\frac{1}{x(x + \Delta x)}$

3. Найдем предел:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(-\frac{1}{x(x + \Delta x)}\right) = -\frac{1}{x(x + 0)} = -\frac{1}{x^2}$

Ответ: $-\frac{1}{x^2}$.

г) $f(x) = \sqrt{x}$

1. Найдем приращение функции:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}$

2. Составим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}$

3. Для нахождения предела преобразуем выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение к числителю $(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{(\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x})(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}$

$= \frac{\Delta x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$

4. Найдем предел:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x + 0} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

40.1. Закон движения точки по прямой задается формулой $s(t) = 2t + 1$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 2$ с до момента:

а) $t_2 = 3$ с;

б) $t_2 = 2,5$ с;

в) $t_2 = 2,1$ с;

г) $t_2 = 2,05$ с.

Вычислите мгновенную скорость точки в момент $t = 2$ с.

Средняя скорость движения $v_{ср}$ на промежутке времени от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

По условию, закон движения точки задан формулой $s(t) = 2t + 1$, а начальный момент времени $t_1 = 2$ с. Найдем положение точки в этот момент:

$s(t_1) = s(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ м.

а) $t_2 = 3$ с;

Найдем положение точки в момент $t_2 = 3$ с: $s(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ м.

Вычислим среднюю скорость на интервале от 2 с до 3 с:

$v_{ср} = \frac{s(3) - s(2)}{3 - 2} = \frac{7 - 5}{1} = 2$ м/с.

Ответ: 2 м/с.

б) $t_2 = 2,5$ с;

Найдем положение точки в момент $t_2 = 2,5$ с: $s(2,5) = 2 \cdot 2,5 + 1 = 6$ м.

Вычислим среднюю скорость на интервале от 2 с до 2,5 с:

$v_{ср} = \frac{s(2,5) - s(2)}{2,5 - 2} = \frac{6 - 5}{0,5} = 2$ м/с.

Ответ: 2 м/с.

в) $t_2 = 2,1$ с;

Найдем положение точки в момент $t_2 = 2,1$ с: $s(2,1) = 2 \cdot 2,1 + 1 = 5,2$ м.

Вычислим среднюю скорость на интервале от 2 с до 2,1 с:

$v_{ср} = \frac{s(2,1) - s(2)}{2,1 - 2} = \frac{5,2 - 5}{0,1} = 2$ м/с.

Ответ: 2 м/с.

г) $t_2 = 2,05$ с;

Найдем положение точки в момент $t_2 = 2,05$ с: $s(2,05) = 2 \cdot 2,05 + 1 = 5,1$ м.

Вычислим среднюю скорость на интервале от 2 с до 2,05 с:

$v_{ср} = \frac{s(2,05) - s(2)}{2,05 - 2} = \frac{5,1 - 5}{0,05} = 2$ м/с.

Ответ: 2 м/с.

Теперь вычислим мгновенную скорость точки в момент $t = 2$ с.

Мгновенная скорость $v(t)$ является производной функции пути $s(t)$ по времени $t$. Физический смысл производной функции перемещения по времени — это мгновенная скорость.

$v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(2t + 1)$

Производная от $2t$ равна 2, а производная от константы 1 равна 0. Таким образом:

$v(t) = 2$

Поскольку мгновенная скорость является постоянной величиной (константой), ее значение в любой момент времени, включая $t = 2$ с, равно 2 м/с. Это также можно было предвидеть, так как средняя скорость на любом интервале для данного линейного закона движения также постоянна и равна 2 м/с.

Ответ: 2 м/с.

40.2. Закон движения точки по прямой задается формулой $s(t) = t^2$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0$ с до момента:

а) $t_2 = 0,1$ с;

б) $t_2 = 0,01$ с;

в) $t_2 = 0,2$ с;

г) $t_2 = 0,001$ с.

Вычислите мгновенную скорость точки в момент $t = 1$ с.

Средняя скорость движения точки на промежутке времени от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

По условию задачи закон движения задан формулой $s(t) = t^2$, а начальный момент времени $t_1 = 0$ с. Положение точки в начальный момент времени: $s(t_1) = s(0) = 0^2 = 0$ м.

Подставив эти значения в формулу, получим выражение для средней скорости на промежутке $[0, t_2]$:

$v_{ср} = \frac{s(t_2) - s(0)}{t_2 - 0} = \frac{t_2^2 - 0}{t_2} = \frac{t_2^2}{t_2} = t_2$

Используем эту упрощенную формулу для решения подпунктов.

а) Найдем среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,1$ с.

$v_{ср} = t_2 = 0,1$ м/с.

Ответ: 0,1 м/с.

б) Найдем среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,01$ с.

$v_{ср} = t_2 = 0,01$ м/с.

Ответ: 0,01 м/с.

в) Найдем среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,2$ с.

$v_{ср} = t_2 = 0,2$ м/с.

Ответ: 0,2 м/с.

г) Найдем среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,001$ с.

$v_{ср} = t_2 = 0,001$ м/с.

Ответ: 0,001 м/с.

Вычислим мгновенную скорость точки в момент t = 1 с.

Мгновенная скорость $v(t)$ — это физический смысл производной функции пути $s(t)$ по времени $t$. Чтобы найти мгновенную скорость, нужно найти производную $s'(t)$.

Закон движения точки: $s(t) = t^2$.

Находим производную этой функции:

$v(t) = s'(t) = (t^2)' = 2t$

Теперь вычислим значение мгновенной скорости в момент времени $t = 1$ с, подставив это значение в полученную формулу для скорости:

$v(1) = 2 \cdot 1 = 2$ м/с.

Ответ: 2 м/с.

40.3. Закон движения точки по прямой задается формулой $s(t) = 2t^2 + t$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0$ с до момента:

а) $t_2 = 0,6$ с;

б) $t_2 = 0,2$ с;

в) $t_2 = 0,5$ с;

г) $t_2 = 0,1$ с.

Вычислите мгновенную скорость точки в момент $t = 1$ с.

Закон движения точки по прямой задается формулой $s(t) = 2t^2 + t$, где $t$ — время в секундах, а $s(t)$ — отклонение в метрах.

Сначала найдем среднюю скорость движения точки на заданных промежутках времени. Средняя скорость $v_{ср}$ на промежутке от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

Во всех случаях начальный момент времени $t_1 = 0$ с. Найдем положение точки в этот момент:

$s(t_1) = s(0) = 2 \cdot 0^2 + 0 = 0$ м.

Таким образом, для данной задачи формула средней скорости упрощается:

$v_{ср} = \frac{s(t_2) - s(0)}{t_2 - 0} = \frac{s(t_2)}{t_2} = \frac{2t_2^2 + t_2}{t_2} = 2t_2 + 1$.

а) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,6$ с.

Подставляем $t_2 = 0,6$ в выведенную формулу:

$v_{ср} = 2 \cdot 0,6 + 1 = 1,2 + 1 = 2,2$ м/с.

Ответ: $2,2$ м/с.

б) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,2$ с.

Подставляем $t_2 = 0,2$ в формулу:

$v_{ср} = 2 \cdot 0,2 + 1 = 0,4 + 1 = 1,4$ м/с.

Ответ: $1,4$ м/с.

в) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,5$ с.

Подставляем $t_2 = 0,5$ в формулу:

$v_{ср} = 2 \cdot 0,5 + 1 = 1 + 1 = 2$ м/с.

Ответ: $2$ м/с.

г) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,1$ с.

Подставляем $t_2 = 0,1$ в формулу:

$v_{ср} = 2 \cdot 0,1 + 1 = 0,2 + 1 = 1,2$ м/с.

Ответ: $1,2$ м/с.

Теперь вычислим мгновенную скорость точки в момент $t = 1$ с. Мгновенная скорость $v(t)$ является производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$.

$v(t) = s'(t)$

Найдем производную для заданной функции $s(t) = 2t^2 + t$:

$v(t) = s'(t) = (2t^2 + t)' = (2t^2)' + (t)' = 2 \cdot 2t^{2-1} + 1 \cdot t^{1-1} = 4t + 1$.

Вычислим значение мгновенной скорости в момент времени $t = 1$ с, подставив это значение в полученное выражение для скорости:

$v(1) = 4 \cdot 1 + 1 = 5$ м/с.

Ответ: $5$ м/с.

40.4. Закон движения точки по прямой задаётся формулой $s = s(t)$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки, если:

а) $s(t) = 4t + 1$;

б) $s(t) = t^2 - t$;

в) $s(t) = 3t + 2$;

г) $s(t) = t^2 - 2t$.

Мгновенная скорость движения точки $v(t)$ — это производная от функции перемещения $s(t)$ по времени $t$. Физический смысл производной функции перемещения по времени заключается в скорости изменения этого перемещения. Таким образом, для нахождения мгновенной скорости необходимо вычислить производную $s'(t)$.

а) Дана функция $s(t) = 4t + 1$.
Мгновенная скорость $v(t)$ находится по формуле $v(t) = s'(t)$.
Найдем производную данной функции:
$v(t) = (4t + 1)' = (4t)' + (1)' = 4 \cdot 1 + 0 = 4$.
Скорость постоянна и равна 4 м/с.
Ответ: $v(t) = 4$ м/с.

б) Дана функция $s(t) = t^2 - t$.
Мгновенная скорость $v(t) = s'(t)$.
Найдем производную, используя правила дифференцирования суммы (разности) и степенной функции $(t^n)'=nt^{n-1}$:
$v(t) = (t^2 - t)' = (t^2)' - (t)' = 2t^{2-1} - 1 \cdot t^{1-1} = 2t - 1$.
Скорость зависит от времени $t$.
Ответ: $v(t) = 2t - 1$ м/с.

в) Дана функция $s(t) = 3t + 2$.
Мгновенная скорость $v(t) = s'(t)$.
Найдем производную данной функции:
$v(t) = (3t + 2)' = (3t)' + (2)' = 3 \cdot 1 + 0 = 3$.
Скорость постоянна и равна 3 м/с.
Ответ: $v(t) = 3$ м/с.

г) Дана функция $s(t) = t^2 - 2t$.
Мгновенная скорость $v(t) = s'(t)$.
Найдем производную:
$v(t) = (t^2 - 2t)' = (t^2)' - (2t)' = 2t^{2-1} - 2 \cdot 1 = 2t - 2$.
Скорость зависит от времени $t$.
Ответ: $v(t) = 2t - 2$ м/с.