Номер 40.3, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

40.3. Закон движения точки по прямой задается формулой $s(t) = 2t^2 + t$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0$ с до момента:

а) $t_2 = 0,6$ с;

б) $t_2 = 0,2$ с;

в) $t_2 = 0,5$ с;

г) $t_2 = 0,1$ с.

Вычислите мгновенную скорость точки в момент $t = 1$ с.

Закон движения точки по прямой задается формулой $s(t) = 2t^2 + t$, где $t$ — время в секундах, а $s(t)$ — отклонение в метрах.

Сначала найдем среднюю скорость движения точки на заданных промежутках времени. Средняя скорость $v_{ср}$ на промежутке от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

Во всех случаях начальный момент времени $t_1 = 0$ с. Найдем положение точки в этот момент:

$s(t_1) = s(0) = 2 \cdot 0^2 + 0 = 0$ м.

Таким образом, для данной задачи формула средней скорости упрощается:

$v_{ср} = \frac{s(t_2) - s(0)}{t_2 - 0} = \frac{s(t_2)}{t_2} = \frac{2t_2^2 + t_2}{t_2} = 2t_2 + 1$.

а) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,6$ с.

Подставляем $t_2 = 0,6$ в выведенную формулу:

$v_{ср} = 2 \cdot 0,6 + 1 = 1,2 + 1 = 2,2$ м/с.

Ответ: $2,2$ м/с.

б) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,2$ с.

Подставляем $t_2 = 0,2$ в формулу:

$v_{ср} = 2 \cdot 0,2 + 1 = 0,4 + 1 = 1,4$ м/с.

Ответ: $1,4$ м/с.

в) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,5$ с.

Подставляем $t_2 = 0,5$ в формулу:

$v_{ср} = 2 \cdot 0,5 + 1 = 1 + 1 = 2$ м/с.

Ответ: $2$ м/с.

г) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,1$ с.

Подставляем $t_2 = 0,1$ в формулу:

$v_{ср} = 2 \cdot 0,1 + 1 = 0,2 + 1 = 1,2$ м/с.

Ответ: $1,2$ м/с.

Теперь вычислим мгновенную скорость точки в момент $t = 1$ с. Мгновенная скорость $v(t)$ является производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$.

$v(t) = s'(t)$

Найдем производную для заданной функции $s(t) = 2t^2 + t$:

$v(t) = s'(t) = (2t^2 + t)' = (2t^2)' + (t)' = 2 \cdot 2t^{2-1} + 1 \cdot t^{1-1} = 4t + 1$.

Вычислим значение мгновенной скорости в момент времени $t = 1$ с, подставив это значение в полученное выражение для скорости:

$v(1) = 4 \cdot 1 + 1 = 5$ м/с.

Ответ: $5$ м/с.