Номер 40.8, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

40.8. Функция $y = \varphi(x)$ задана своим графиком (рис. 88). Укажите несколько значений аргумента, для которых:

а) $\varphi'(x) > 0$;

б) $\varphi'(x) < 0$ и $x > 0$;

в) $\varphi'(x) < 0$;

г) $\varphi'(x) > 0$ и $x < 0$.

Рис. 88

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Знак производной функции $?'(x)$ в точке указывает на характер монотонности (возрастание или убывание) функции $?(x)$ в этой точке.

• Если производная положительна ($?'(x) > 0$), то функция возрастает (график идет вверх).
• Если производная отрицательна ($?'(x) < 0$), то функция убывает (график идет вниз).

Анализируя график, мы можем определить интервалы возрастания и убывания функции $y = ?(x)$:

• Функция возрастает на интервалах $(-8, -4)$ и $(1, 3)$.
• Функция убывает на интервалах (левее -8), $(-4, 1)$ и (правее 3).

На основе этого найдем значения аргумента для каждого случая.

а) $?'(x) > 0$

Условие $?'(x) > 0$ выполняется на тех участках, где функция $?(x)$ возрастает. Согласно графику, это происходит на интервалах $(-8, -4)$ и $(1, 3)$. Мы можем выбрать любые значения $x$ из этих интервалов.
Например: $x = -7$, $x = -5$, $x = 2$.
Ответ: $x = -7$, $x = -5$, $x = 2$.

б) $?'(x) < 0$ и $x > 0$

Здесь требуется выполнение двух условий одновременно: функция должна убывать ($?'(x) < 0$), и аргумент должен быть положительным ($x > 0$). Функция убывает на интервалах $(-4, 1)$ и $(3, +\infty)$. Из этих интервалов мы должны выбрать те части, где $x > 0$. Это промежутки $(0, 1)$ и $(3, +\infty)$.
Например: $x = 0.5$, $x = 4$, $x = 5$.
Ответ: $x = 0.5$, $x = 4$, $x = 5$.

в) $?'(x) < 0$

Условие $?'(x) < 0$ выполняется на тех участках, где функция $?(x)$ убывает. Согласно графику, это происходит на интервалах до $x=-8$, от $x=-4$ до $x=1$ и при $x > 3$. Мы можем выбрать любые значения $x$ из этих интервалов.
Например: $x = -9$, $x = -2$, $x = 0$, $x = 4$.
Ответ: $x = -2$, $x = 0$, $x = 4$.

г) $?'(x) > 0$ и $x < 0$

Здесь требуется, чтобы функция возрастала ($?'(x) > 0$) и аргумент был отрицательным ($x < 0$). Функция возрастает на интервалах $(-8, -4)$ и $(1, 3)$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только первый интервал: $(-8, -4)$.
Например: $x = -7$, $x = -6$, $x = -5$.
Ответ: $x = -7$, $x = -6$, $x = -5$.