Номер 40.9, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке x:

40.9. a) $y = x^2 + 2x$;

б) $y = \frac{1}{x}$;

в) $y = 3x^2 - 4x$;

г) $y = \frac{4}{x}$.

Для нахождения производной функции воспользуемся ее определением. Производная функции $f(x)$ в точке $x$ — это предел отношения приращения функции $\Delta y$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента стремится к нулю:

$y' = f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

а) Для функции $y = x^2 + 2x$.
1. Найдем приращение функции $\Delta y$:
$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = ((x + \Delta x)^2 + 2(x + \Delta x)) - (x^2 + 2x)$
$\Delta y = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2x + 2\Delta x) - x^2 - 2x$
$\Delta y = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2\Delta x$
2. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x (2x + \Delta x + 2)}{\Delta x} = 2x + \Delta x + 2$
3. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
$y' = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 2) = 2x + 0 + 2 = 2x + 2$
Ответ: $y' = 2x + 2$.

б) Для функции $y = \frac{1}{x}$.
1. Найдем приращение функции $\Delta y$:
$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\Delta y = \frac{x - (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{x - x - \Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$
2. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = \frac{-\Delta x}{\Delta x \cdot x(x + \Delta x)} = -\frac{1}{x(x + \Delta x)}$
3. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \left(-\frac{1}{x(x + \Delta x)}\right) = -\frac{1}{x(x + 0)} = -\frac{1}{x^2}$
Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2}$.

в) Для функции $y = 3x^2 - 4x$.
1. Найдем приращение функции $\Delta y$:
$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = (3(x + \Delta x)^2 - 4(x + \Delta x)) - (3x^2 - 4x)$
$\Delta y = (3(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - 4x - 4\Delta x) - 3x^2 + 4x$
$\Delta y = 3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 - 4x - 4\Delta x - 3x^2 + 4x$
$\Delta y = 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 - 4\Delta x$
2. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 - 4\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x (6x + 3\Delta x - 4)}{\Delta x} = 6x + 3\Delta x - 4$
3. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
$y' = \lim_{\Delta x \to 0} (6x + 3\Delta x - 4) = 6x + 3 \cdot 0 - 4 = 6x - 4$
Ответ: $y' = 6x - 4$.

г) Для функции $y = \frac{4}{x}$.
1. Найдем приращение функции $\Delta y$:
$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{4}{x + \Delta x} - \frac{4}{x}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\Delta y = \frac{4x - 4(x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{4x - 4x - 4\Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-4\Delta x}{x(x + \Delta x)}$
2. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{-4\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = \frac{-4\Delta x}{\Delta x \cdot x(x + \Delta x)} = -\frac{4}{x(x + \Delta x)}$
3. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \left(-\frac{4}{x(x + \Delta x)}\right) = -\frac{4}{x(x + 0)} = -\frac{4}{x^2}$
Ответ: $y' = -\frac{4}{x^2}$.