Номер 40.11, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

40.11. Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке $x_0$ или докажите, что она не существует:

а) $y = \begin{cases} 3x, \text{ если } x \ge 0, \\ -2x + 3, \text{ если } x < 0; \end{cases} x_0 = 0.$

б) $y = \begin{cases} 2x^2, \text{ если } x \ge 0, \\ -2x^2, \text{ если } x < 0; \end{cases} x_0 = 0.$

в) $y = \begin{cases} -4x + 2, \text{ если } x \ge 3, \\ 2x - 4, \text{ если } x < 3; \end{cases} x_0 = 3.$

г) $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \le 1, \\ 2x - 1, \text{ если } x > 1; \end{cases} x_0 = 1.$

а)

Дана функция $y = f(x) = \begin{cases} 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ -2x + 3, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ и точка $x_0 = 0$.

Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ по определению равна:
$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Для существования производной в точке $x_0$ необходимо, чтобы функция была непрерывна в этой точке. Проверим непрерывность функции в точке $x_0 = 0$.

Значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = 3 \cdot 0 = 0$.

Найдем односторонние пределы:
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (3x) = 0$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-2x + 3) = -2(0) + 3 = 3$.

Поскольку правосторонний и левосторонний пределы не равны ($\lim_{x \to 0^+} f(x) \ne \lim_{x \to 0^-} f(x)$), функция имеет разрыв первого рода в точке $x_0 = 0$ и не является непрерывной.

Так как функция не является непрерывной в точке $x_0 = 0$, производная в этой точке не существует.

Ответ: Производная не существует.

б)

Дана функция $y = f(x) = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ -2x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ и точка $x_0 = 0$.

Сначала проверим функцию на непрерывность в точке $x_0 = 0$.
Значение функции в точке: $f(0) = 2 \cdot 0^2 = 0$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x^2) = 0$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-2x^2) = 0$.
Так как $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$, функция непрерывна в точке $x_0 = 0$.

Теперь найдем левую и правую производные в точке $x_0 = 0$ по определению.

Правая производная:
$f'_+(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(\Delta x) - 0}{\Delta x}$.
Для $\Delta x > 0$, $f(\Delta x) = 2(\Delta x)^2$.
$f'_+(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{2(\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} (2\Delta x) = 0$.

Левая производная:
$f'_-(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(\Delta x) - 0}{\Delta x}$.
Для $\Delta x < 0$, $f(\Delta x) = -2(\Delta x)^2$.
$f'_-(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-2(\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} (-2\Delta x) = 0$.

Поскольку правая и левая производные существуют и равны ($f'_+(0) = f'_-(0) = 0$), производная в точке $x_0 = 0$ существует и равна их общему значению.

Ответ: $f'(0) = 0$.

в)

Дана функция $y = f(x) = \begin{cases} -4x + 2, & \text{если } x \ge 3 \\ 2x - 4, & \text{если } x < 3 \end{cases}$ и точка $x_0 = 3$.

Проверим непрерывность функции в точке $x_0 = 3$.
Значение функции в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = -4 \cdot 3 + 2 = -12 + 2 = -10$.

Найдем односторонние пределы:
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (-4x + 2) = -4(3) + 2 = -10$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (2x - 4) = 2(3) - 4 = 2$.

Поскольку $\lim_{x \to 3^+} f(x) \ne \lim_{x \to 3^-} f(x)$, функция имеет разрыв первого рода в точке $x_0 = 3$ и не является непрерывной.

Так как функция не является непрерывной в точке $x_0 = 3$, производная в этой точке не существует.

Ответ: Производная не существует.

г)

Дана функция $y = f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1 \\ 2x - 1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$ и точка $x_0 = 1$.

Проверим непрерывность функции в точке $x_0 = 1$.
$f(1) = 1^2 = 1$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2) = 1^2 = 1$.
Так как $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$, функция непрерывна в точке $x_0 = 1$.

Найдем левую и правую производные в точке $x_0 = 1$.

Правая производная:
$f'_+(1) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x}$.
Для $\Delta x > 0$, имеем $1 + \Delta x > 1$, поэтому $f(1 + \Delta x) = 2(1 + \Delta x) - 1 = 2 + 2\Delta x - 1 = 1 + 2\Delta x$.
$f'_+(1) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{(1 + 2\Delta x) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{2\Delta x}{\Delta x} = 2$.

Левая производная:
$f'_-(1) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x}$.
Для $\Delta x < 0$, имеем $1 + \Delta x < 1$, поэтому $f(1 + \Delta x) = (1 + \Delta x)^2 = 1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2$.
$f'_-(1) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{2\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} (2 + \Delta x) = 2$.

Поскольку правая и левая производные существуют и равны ($f'_+(1) = f'_-(1) = 2$), производная в точке $x_0 = 1$ существует.

Ответ: $f'(1) = 2$.