Номер 40.12, страница 237, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

40.12. Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке $x_0$ или докажите, что она не существует:

а) $y = |x + 4|$, $x_0 = -4;$

б) $y = -3x|x|$, $x_0 = 0;$

в) $y = 2x|x|$, $x_0 = 0;$

г) $y = (x - 1)|x - 1|$, $x_0 = 1.$

а) Дана функция $y = f(x) = |x + 4|$ и точка $x_0 = -4$. Воспользуемся определением производной в точке $x_0$:$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

Найдем значение функции в точке $x_0 = -4$:$f(-4) = |-4 + 4| = |0| = 0$.

Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x = -4 + \Delta x$:$f(-4 + \Delta x) = |(-4 + \Delta x) + 4| = |\Delta x|$.

Подставим найденные значения в определение производной:$f'(-4) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x| - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$.

Для существования производной необходимо, чтобы предел существовал. Проверим существование предела, вычислив односторонние пределы.

Правосторонний предел (когда $\Delta x \to 0^+$, то есть $\Delta x > 0$ и, следовательно, $|\Delta x| = \Delta x$):$\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} 1 = 1$.

Левосторонний предел (когда $\Delta x \to 0^-$, то есть $\Delta x < 0$ и, следовательно, $|\Delta x| = -\Delta x$):$\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} -1 = -1$.

Так как правосторонний и левосторонний пределы не равны ($1 \neq -1$), общий предел не существует. Это означает, что функция не имеет производной в точке $x_0 = -4$.

Ответ: производная не существует.

б) Дана функция $y = f(x) = -3x|x|$ и точка $x_0 = 0$. Воспользуемся определением производной.

Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:$f(0) = -3 \cdot 0 \cdot |0| = 0$.

Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x = \Delta x$:$f(0 + \Delta x) = f(\Delta x) = -3(\Delta x)|\Delta x|$.

Подставим значения в определение производной:$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-3(\Delta x)|\Delta x| - 0}{\Delta x}$.

Упростим выражение под знаком предела:$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-3(\Delta x)|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-3|\Delta x|)$.

Поскольку при $\Delta x \to 0$ значение $|\Delta x|$ также стремится к 0, получаем:$\lim_{\Delta x \to 0} (-3|\Delta x|) = -3 \cdot 0 = 0$.

Предел существует и равен 0. Следовательно, производная функции в точке $x_0=0$ существует и равна 0.

Ответ: $y'(0) = 0$.

в) Дана функция $y = f(x) = 2x|x|$ и точка $x_0 = 0$. Воспользуемся определением производной.

Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:$f(0) = 2 \cdot 0 \cdot |0| = 0$.

Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x = \Delta x$:$f(0 + \Delta x) = f(\Delta x) = 2(\Delta x)|\Delta x|$.

Подставим значения в определение производной:$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2(\Delta x)|\Delta x| - 0}{\Delta x}$.

Упростим выражение:$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2(\Delta x)|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2|\Delta x|)$.

При $\Delta x \to 0$ значение $|\Delta x|$ также стремится к 0:$\lim_{\Delta x \to 0} (2|\Delta x|) = 2 \cdot 0 = 0$.

Предел существует и равен 0. Следовательно, производная функции в точке $x_0=0$ существует и равна 0.

Ответ: $y'(0) = 0$.

г) Дана функция $y = f(x) = (x - 1)|x - 1|$ и точка $x_0 = 1$. Воспользуемся определением производной.

Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:$f(1) = (1 - 1)|1 - 1| = 0 \cdot |0| = 0$.

Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x = 1 + \Delta x$:$f(1 + \Delta x) = ((1 + \Delta x) - 1)|(1 + \Delta x) - 1| = (\Delta x)|\Delta x|$.

Подставим значения в определение производной:$f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)|\Delta x| - 0}{\Delta x}$.

Упростим выражение:$f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} |\Delta x|$.

При $\Delta x \to 0$ значение $|\Delta x|$ также стремится к 0:$\lim_{\Delta x \to 0} |\Delta x| = 0$.

Предел существует и равен 0. Следовательно, производная функции в точке $x_0=1$ существует и равна 0.

Ответ: $y'(1) = 0$.