Номер 40.2, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

40.2. Закон движения точки по прямой задается формулой $s(t) = t^2$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0$ с до момента:

а) $t_2 = 0,1$ с;

б) $t_2 = 0,01$ с;

в) $t_2 = 0,2$ с;

г) $t_2 = 0,001$ с.

Вычислите мгновенную скорость точки в момент $t = 1$ с.

Средняя скорость движения точки на промежутке времени от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

По условию задачи закон движения задан формулой $s(t) = t^2$, а начальный момент времени $t_1 = 0$ с. Положение точки в начальный момент времени: $s(t_1) = s(0) = 0^2 = 0$ м.

Подставив эти значения в формулу, получим выражение для средней скорости на промежутке $[0, t_2]$:

$v_{ср} = \frac{s(t_2) - s(0)}{t_2 - 0} = \frac{t_2^2 - 0}{t_2} = \frac{t_2^2}{t_2} = t_2$

Используем эту упрощенную формулу для решения подпунктов.

а) Найдем среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,1$ с.

$v_{ср} = t_2 = 0,1$ м/с.

Ответ: 0,1 м/с.

б) Найдем среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,01$ с.

$v_{ср} = t_2 = 0,01$ м/с.

Ответ: 0,01 м/с.

в) Найдем среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,2$ с.

$v_{ср} = t_2 = 0,2$ м/с.

Ответ: 0,2 м/с.

г) Найдем среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2 = 0,001$ с.

$v_{ср} = t_2 = 0,001$ м/с.

Ответ: 0,001 м/с.

Вычислим мгновенную скорость точки в момент t = 1 с.

Мгновенная скорость $v(t)$ — это физический смысл производной функции пути $s(t)$ по времени $t$. Чтобы найти мгновенную скорость, нужно найти производную $s'(t)$.

Закон движения точки: $s(t) = t^2$.

Находим производную этой функции:

$v(t) = s'(t) = (t^2)' = 2t$

Теперь вычислим значение мгновенной скорости в момент времени $t = 1$ с, подставив это значение в полученную формулу для скорости:

$v(1) = 2 \cdot 1 = 2$ м/с.

Ответ: 2 м/с.