Номер 39.45, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.45. Для функции $y = f(x)$ найдите $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$, если:

а) $f(x) = kx + b$;

б) $f(x) = ax^2$;

в) $f(x) = \frac{1}{x}$;

г) $f(x) = \sqrt{x}$.

Искомый предел $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$ по определению является производной функции $f(x)$, которая обозначается как $f'(x)$. Для нахождения этого предела необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$.
2. Составить отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$.
3. Вычислить предел этого отношения при $\Delta x \to 0$.

Применим этот алгоритм для каждой из заданных функций.

а) $f(x) = kx + b$

1. Найдем приращение функции:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (k(x + \Delta x) + b) - (kx + b) = kx + k\Delta x + b - kx - b = k\Delta x$

2. Составим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{k\Delta x}{\Delta x} = k$

3. Найдем предел:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} k = k$

Ответ: $k$.

б) $f(x) = ax^2$

1. Найдем приращение функции:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = a(x + \Delta x)^2 - ax^2 = a(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - ax^2$

$= ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 - ax^2 = 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2$

2. Составим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2ax\Delta x + a(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2ax + a\Delta x)}{\Delta x} = 2ax + a\Delta x$

3. Найдем предел:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2ax + a\Delta x) = 2ax + a \cdot 0 = 2ax$

Ответ: $2ax$.

в) $f(x) = \frac{1}{x}$

1. Найдем приращение функции:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$

2. Составим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = \frac{-\Delta x}{\Delta x \cdot x(x + \Delta x)} = -\frac{1}{x(x + \Delta x)}$

3. Найдем предел:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(-\frac{1}{x(x + \Delta x)}\right) = -\frac{1}{x(x + 0)} = -\frac{1}{x^2}$

Ответ: $-\frac{1}{x^2}$.

г) $f(x) = \sqrt{x}$

1. Найдем приращение функции:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}$

2. Составим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}$

3. Для нахождения предела преобразуем выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение к числителю $(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{(\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x})(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}$

$= \frac{\Delta x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$

4. Найдем предел:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x + 0} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.