Страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

39.31. Вычислите:

a) $lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x^2 - 3x}$

б) $lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x + 3} - \sqrt{2x - 7})$

в) $lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{\sqrt{2x + 5} - 3}$

г) $lim_{x \to -\infty} (\sqrt{5 - 3x} - \sqrt{-3x})$

а) В данном пределе $\lim_{x\to3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x}$ при подстановке $x=3$ в числитель и знаменатель получаем $\sqrt{3+6}-3 = 0$ и $3^2-3 \cdot 3 = 0$. Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, то есть на $\sqrt{x+6}+3$.
$\lim_{x\to3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x} = \lim_{x\to3} \frac{(\sqrt{x+6}-3)(\sqrt{x+6}+3)}{(x^2-3x)(\sqrt{x+6}+3)} = \lim_{x\to3} \frac{(\sqrt{x+6})^2-3^2}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)} = \lim_{x\to3} \frac{x+6-9}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)} = \lim_{x\to3} \frac{x-3}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)}$.
Сократим дробь на $(x-3)$, так как при вычислении предела $x$ стремится к 3, но не равен 3.
$\lim_{x\to3} \frac{1}{x(\sqrt{x+6}+3)} = \frac{1}{3(\sqrt{3+6}+3)} = \frac{1}{3(\sqrt{9}+3)} = \frac{1}{3(3+3)} = \frac{1}{18}$.
Ответ: $\frac{1}{18}$

б) В пределе $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{2x+3} - \sqrt{2x-7})$ мы имеем дело с неопределенностью вида $\infty - \infty$, так как при $x \to \infty$ оба корня стремятся к бесконечности. Для ее раскрытия умножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7}$.
$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{2x+3} - \sqrt{2x-7}) = \lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{2x+3} - \sqrt{2x-7})(\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7})}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7}} = \lim_{x\to\infty} \frac{(2x+3) - (2x-7)}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7}} = \lim_{x\to\infty} \frac{2x+3-2x+7}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7}} = \lim_{x\to\infty} \frac{10}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7}}$.
Поскольку при $x \to \infty$ знаменатель $\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7}$ стремится к $\infty$, а числитель является константой, предел равен нулю.
Ответ: $0$

в) В пределе $\lim_{x\to2} \frac{x^2-4}{\sqrt{2x+5}-3}$ при подстановке $x=2$ получаем $2^2-4 = 0$ в числителе и $\sqrt{2\cdot2+5}-3 = \sqrt{9}-3=0$ в знаменателе. Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы ее раскрыть, домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{2x+5}+3$.
$\lim_{x\to2} \frac{x^2-4}{\sqrt{2x+5}-3} = \lim_{x\to2} \frac{(x^2-4)(\sqrt{2x+5}+3)}{(\sqrt{2x+5}-3)(\sqrt{2x+5}+3)} = \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{(\sqrt{2x+5})^2-3^2} = \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{(2x+5)-9} = \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2x-4} = \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2(x-2)}$.
Сократив на $(x-2)$, получим:
$\lim_{x\to2} \frac{(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2} = \frac{(2+2)(\sqrt{2\cdot2+5}+3)}{2} = \frac{4(\sqrt{9}+3)}{2} = \frac{4(3+3)}{2} = \frac{4 \cdot 6}{2} = 12$.
Ответ: $12$

г) В пределе $\lim_{x\to-\infty} (\sqrt{5-3x} - \sqrt{-3x})$ имеем неопределенность вида $\infty - \infty$. При $x \to -\infty$ выражения $5-3x$ и $-3x$ стремятся к $+\infty$. Для раскрытия неопределенности домножим и разделим выражение на сопряженное ему $\sqrt{5-3x} + \sqrt{-3x}$.
$\lim_{x\to-\infty} (\sqrt{5-3x} - \sqrt{-3x}) = \lim_{x\to-\infty} \frac{(\sqrt{5-3x} - \sqrt{-3x})(\sqrt{5-3x} + \sqrt{-3x})}{\sqrt{5-3x} + \sqrt{-3x}} = \lim_{x\to-\infty} \frac{(5-3x) - (-3x)}{\sqrt{5-3x} + \sqrt{-3x}} = \lim_{x\to-\infty} \frac{5}{\sqrt{5-3x} + \sqrt{-3x}}$.
При $x \to -\infty$ знаменатель $\sqrt{5-3x} + \sqrt{-3x}$ стремится к $\infty$, в то время как числитель является константой. Следовательно, предел равен нулю.
Ответ: $0$

Вычислите:

39.32. а) $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{\operatorname{tg} x}; $

в) $ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\operatorname{ctg} x}; $

б) $ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x}; $

г) $ \lim_{x\to 0} \frac{\cos 5x - \cos 3x}{\sin 5x + \sin 3x}. $

а) Для вычисления предела $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\tg x}$ заменим тангенс на отношение синуса к косинусу, используя тождество $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\tg x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}}$
Поскольку $x$ стремится к нулю, но не равен ему ($x \neq 0$), то и $\sin x \neq 0$. Следовательно, мы можем сократить дробь на $\sin x$:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cdot \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1$.
Ответ: $1$.

б) При подстановке $x = \frac{\pi}{2}$ в выражение $\frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x}$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как:
$\sin(3\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2}) = -1 + 1 = 0$
$\cos(3\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 + 0 = 0$
Для раскрытия неопределенности воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
Применяем эти формулы:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin\frac{3x+x}{2} \cos\frac{3x-x}{2}}{2 \cos\frac{3x+x}{2} \cos\frac{3x-x}{2}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin(2x) \cos x}{2 \cos(2x) \cos x}$
Поскольку $x \to \frac{\pi}{2}$, но $x \neq \frac{\pi}{2}$, то $\cos x \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $2 \cos x$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tg(2x) = \tg(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \tg(\pi) = 0$.
Ответ: $0$.

в) Для вычисления предела $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\text{ctg } x}$ представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\text{ctg } x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}}$
Так как $x \to \frac{\pi}{2}$, но $x \neq \frac{\pi}{2}$, то $\cos x \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $\cos x$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \cdot \sin x}{\cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Ответ: $1$.

г) При подстановке $x = 0$ в выражение $\frac{\cos 5x - \cos 3x}{\sin 5x + \sin 3x}$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
$\cos(0) - \cos(0) = 1 - 1 = 0$
$\sin(0) + \sin(0) = 0 + 0 = 0$
Для раскрытия неопределенности используем формулы преобразования разности и суммы тригонометрических функций в произведение:
$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
Применяем формулы к числителю и знаменателю:
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 5x - \cos 3x}{\sin 5x + \sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin\frac{5x+3x}{2} \sin\frac{5x-3x}{2}}{2 \sin\frac{5x+3x}{2} \cos\frac{5x-3x}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin(4x) \sin x}{2 \sin(4x) \cos x}$
Поскольку $x \to 0$, но $x \neq 0$, то $\sin(4x) \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $2 \sin(4x)$:
$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{\cos x} = \lim_{x \to 0} (-\tg x) = -\tg(0) = 0$.
Ответ: $0$.

39.33. a) $lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2};$

б) $lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x - \sin 3x}{\sin 8x - \sin 2x}.$

а) Найдём предел $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$.

При подстановке $x=0$ в выражение получаем неопределённость вида $\frac{0}{0}$, так как $\cos 0 = 1$.

Для раскрытия этой неопределённости воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени: $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$.

Подставим это тождество в исходное выражение:

$\lim_{x\to0} \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}$

Перепишем выражение, чтобы использовать первый замечательный предел $\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

$\lim_{x\to0} 2 \cdot \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x\to0} 2 \cdot \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{x}\right)^2$

Чтобы привести знаменатель к виду аргумента синуса, умножим и разделим его на 2:

$\lim_{x\to0} 2 \cdot \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{2 \cdot \frac{x}{2}}\right)^2 = \lim_{x\to0} 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 = \lim_{x\to0} 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2$

$\frac{1}{2} \cdot \lim_{x\to0} \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2$

Так как при $x \to 0$, то и $\frac{x}{2} \to 0$. Пусть $u = \frac{x}{2}$. Тогда предел принимает вид:

$\frac{1}{2} \cdot \left(\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$

Этот предел также известен как второй замечательный предел.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Найдём предел $\lim_{x\to0} \frac{\sin 7x - \sin 3x}{\sin 8x - \sin 2x}$.

При подстановке $x=0$ получаем неопределённость вида $\frac{0-0}{0-0} = \frac{0}{0}$.

Для раскрытия неопределённости используем формулу разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

Преобразуем числитель:

$\sin 7x - \sin 3x = 2\sin\frac{7x-3x}{2}\cos\frac{7x+3x}{2} = 2\sin\frac{4x}{2}\cos\frac{10x}{2} = 2\sin(2x)\cos(5x)$

Преобразуем знаменатель:

$\sin 8x - \sin 2x = 2\sin\frac{8x-2x}{2}\cos\frac{8x+2x}{2} = 2\sin\frac{6x}{2}\cos\frac{10x}{2} = 2\sin(3x)\cos(5x)$

Подставим преобразованные выражения в предел:

$\lim_{x\to0} \frac{2\sin(2x)\cos(5x)}{2\sin(3x)\cos(5x)}$

При $x \to 0$, $\cos(5x) \to \cos(0) = 1 \neq 0$, поэтому можно сократить $\cos(5x)$ и константу 2:

$\lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{\sin(3x)}$

Мы снова получили неопределённость $\frac{0}{0}$. Разделим числитель и знаменатель на $x$ и воспользуемся первым замечательным пределом:

$\lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin(2x)}{x}}{\frac{\sin(3x)}{x}} = \lim_{x\to0} \frac{2 \cdot \frac{\sin(2x)}{2x}}{3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x}}$

По свойству предела частного:

$\frac{\lim_{x\to0} \left(2 \cdot \frac{\sin(2x)}{2x}\right)}{\lim_{x\to0} \left(3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x}\right)} = \frac{2 \cdot \lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{2x}}{3 \cdot \lim_{x\to0} \frac{\sin(3x)}{3x}}$

Так как при $x \to 0$ и $2x \to 0$, и $3x \to 0$, оба предела в числителе и знаменателе равны 1.

$\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

39.34. Найдите приращение функции $y = 2x - 3$ при переходе от точки $x_0 = 3$ к точке $x_1$, если:

а) $x_1 = 3,2$;

б) $x_1 = 2,9$;

в) $x_1 = 3,5$;

г) $x_1 = 2,5$.

Приращение функции, обозначаемое как $\Delta y$, — это разность между новым и первоначальным значениями функции. Формула для вычисления приращения функции $y = f(x)$ при переходе аргумента от точки $x_0$ к точке $x_1$ выглядит так:

$\Delta y = f(x_1) - f(x_0)$

В данной задаче нам дана функция $y = 2x - 3$ и начальная точка $x_0 = 3$.

Сначала найдем значение функции в начальной точке $x_0 = 3$:

$y_0 = f(x_0) = 2 \cdot 3 - 3 = 6 - 3 = 3$

Теперь найдем приращение функции для каждого из предложенных случаев.

а) $x_1 = 3,2$

Найдем значение функции в конечной точке $x_1 = 3,2$:

$y_1 = f(x_1) = 2 \cdot 3,2 - 3 = 6,4 - 3 = 3,4$

Теперь вычислим приращение функции как разность $y_1$ и $y_0$:

$\Delta y = y_1 - y_0 = 3,4 - 3 = 0,4$

Ответ: $0,4$.

б) $x_1 = 2,9$

Найдем значение функции в конечной точке $x_1 = 2,9$:

$y_1 = f(x_1) = 2 \cdot 2,9 - 3 = 5,8 - 3 = 2,8$

Вычислим приращение функции:

$\Delta y = y_1 - y_0 = 2,8 - 3 = -0,2$

Ответ: $-0,2$.

в) $x_1 = 3,5$

Найдем значение функции в конечной точке $x_1 = 3,5$:

$y_1 = f(x_1) = 2 \cdot 3,5 - 3 = 7 - 3 = 4$

Вычислим приращение функции:

$\Delta y = y_1 - y_0 = 4 - 3 = 1$

Ответ: $1$.

г) $x_1 = 2,5$

Найдем значение функции в конечной точке $x_1 = 2,5$:

$y_1 = f(x_1) = 2 \cdot 2,5 - 3 = 5 - 3 = 2$

Вычислим приращение функции:

$\Delta y = y_1 - y_0 = 2 - 3 = -1$

Ответ: $-1$.

39.35. Найдите приращение функции $y = x^2 + 2x$ при переходе от точки $x_0 = -2$ к точке $x_1$, если:

а) $x_1 = -1.9;$

б) $x_1 = -2.1;$

в) $x_1 = -1.5;$

г) $x_1 = -2.5.$

Приращение функции, обозначаемое как $\Delta y$, представляет собой разность между значением функции в новой точке $x_1$ и её значением в начальной точке $x_0$. Формула для вычисления приращения выглядит следующим образом:

$\Delta y = y(x_1) - y(x_0)$

В данном задании нам дана функция $y = x^2 + 2x$ и начальная точка $x_0 = -2$.

Первым шагом вычислим значение функции в точке $x_0 = -2$:

$y(x_0) = y(-2) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) = 4 - 4 = 0$.

Теперь, зная значение $y(x_0)$, мы можем найти приращение функции для каждого из предложенных случаев.

а) $x_1 = -1,9$

Найдем значение функции в точке $x_1$: $y(-1,9) = (-1,9)^2 + 2 \cdot (-1,9) = 3,61 - 3,8 = -0,19$.

Теперь вычислим приращение функции: $\Delta y = y(x_1) - y(x_0) = -0,19 - 0 = -0,19$.

Ответ: -0,19.

б) $x_1 = -2,1$

Найдем значение функции в точке $x_1$: $y(-2,1) = (-2,1)^2 + 2 \cdot (-2,1) = 4,41 - 4,2 = 0,21$.

Теперь вычислим приращение функции: $\Delta y = y(x_1) - y(x_0) = 0,21 - 0 = 0,21$.

Ответ: 0,21.

в) $x_1 = -1,5$

Найдем значение функции в точке $x_1$: $y(-1,5) = (-1,5)^2 + 2 \cdot (-1,5) = 2,25 - 3 = -0,75$.

Теперь вычислим приращение функции: $\Delta y = y(x_1) - y(x_0) = -0,75 - 0 = -0,75$.

Ответ: -0,75.

г) $x_1 = -2,5$

Найдем значение функции в точке $x_1$: $y(-2,5) = (-2,5)^2 + 2 \cdot (-2,5) = 6,25 - 5 = 1,25$.

Теперь вычислим приращение функции: $\Delta y = y(x_1) - y(x_0) = 1,25 - 0 = 1,25$.

Ответ: 1,25.

39.36. Найдите приращение функции $y = \sin x$ при переходе от точки $x_0 = 0$ к точке $x_1$, если:

а) $x_1 = \frac{\pi}{6}$;

б) $x_1 = -\frac{\pi}{6}$;

в) $x_1 = \frac{\pi}{4}$;

г) $x_1 = -\frac{\pi}{3}$.

Приращение функции $y = f(x)$ при переходе аргумента от точки $x_0$ к точке $x_1$ определяется как разность значений функции в этих точках и обозначается $\Delta y$. Формула для вычисления приращения: $\Delta y = f(x_1) - f(x_0)$.

В данном случае дана функция $y = \sin x$, начальная точка $x_0 = 0$. Сначала вычислим значение функции в начальной точке: $y_0 = f(x_0) = \sin(0) = 0$.

Теперь общая формула для нахождения приращения для этой задачи будет выглядеть так: $\Delta y = \sin(x_1) - \sin(0) = \sin(x_1) - 0 = \sin(x_1)$.

Далее найдем приращение для каждого случая, подставляя значение $x_1$.

а) Если $x_1 = \frac{\pi}{6}$, то приращение функции равно:
$\Delta y = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Если $x_1 = -\frac{\pi}{6}$, то приращение функции равно:
$\Delta y = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

в) Если $x_1 = \frac{\pi}{4}$, то приращение функции равно:
$\Delta y = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Если $x_1 = -\frac{\pi}{3}$, то приращение функции равно:
$\Delta y = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

39.37. Найдите приращение функции $y = 2 \sin x \cdot \cos x$ при переходе от точки $x_0 = 0$ к точке $x_1$, если:

a) $x_1 = -\frac{\pi}{8};$

б) $x_1 = \frac{\pi}{12};$

в) $x_1 = \frac{\pi}{8};$

г) $x_1 = -\frac{\pi}{12}.$

Приращение функции $\Delta y$ при переходе аргумента от точки $x_0$ к точке $x_1$ вычисляется по формуле $\Delta y = y(x_1) - y(x_0)$.

Данную функцию $y = 2 \sin x \cdot \cos x$ удобно предварительно упростить, используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Таким образом, получаем эквивалентную функцию $y(x) = \sin(2x)$.

Сначала найдем значение функции в начальной точке $x_0 = 0$:
$y(x_0) = y(0) = \sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$.

Теперь мы можем найти приращение для каждого из заданных случаев.

Найдем приращение функции при переходе от $x_0 = 0$ к $x_1 = -\frac{\pi}{8}$.
$\Delta y = y(x_1) - y(x_0) = \sin(2x_1) - y(0)$
$\Delta y = \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{8})) - 0 = \sin(-\frac{\pi}{4})$
Так как синус является нечетной функцией ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), получаем:
$\Delta y = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдем приращение функции при переходе от $x_0 = 0$ к $x_1 = \frac{\pi}{12}$.
$\Delta y = y(x_1) - y(x_0) = \sin(2x_1) - y(0)$
$\Delta y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) - 0 = \sin(\frac{\pi}{6})$
$\Delta y = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

Найдем приращение функции при переходе от $x_0 = 0$ к $x_1 = \frac{\pi}{8}$.
$\Delta y = y(x_1) - y(x_0) = \sin(2x_1) - y(0)$
$\Delta y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) - 0 = \sin(\frac{\pi}{4})$
$\Delta y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдем приращение функции при переходе от $x_0 = 0$ к $x_1 = -\frac{\pi}{12}$.
$\Delta y = y(x_1) - y(x_0) = \sin(2x_1) - y(0)$
$\Delta y = \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{12})) - 0 = \sin(-\frac{\pi}{6})$
Так как синус является нечетной функцией ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), получаем:
$\Delta y = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$