Номер 39.37, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.37. Найдите приращение функции $y = 2 \sin x \cdot \cos x$ при переходе от точки $x_0 = 0$ к точке $x_1$, если:

a) $x_1 = -\frac{\pi}{8};$

б) $x_1 = \frac{\pi}{12};$

в) $x_1 = \frac{\pi}{8};$

г) $x_1 = -\frac{\pi}{12}.$

Приращение функции $\Delta y$ при переходе аргумента от точки $x_0$ к точке $x_1$ вычисляется по формуле $\Delta y = y(x_1) - y(x_0)$.

Данную функцию $y = 2 \sin x \cdot \cos x$ удобно предварительно упростить, используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Таким образом, получаем эквивалентную функцию $y(x) = \sin(2x)$.

Сначала найдем значение функции в начальной точке $x_0 = 0$:
$y(x_0) = y(0) = \sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$.

Теперь мы можем найти приращение для каждого из заданных случаев.

Найдем приращение функции при переходе от $x_0 = 0$ к $x_1 = -\frac{\pi}{8}$.
$\Delta y = y(x_1) - y(x_0) = \sin(2x_1) - y(0)$
$\Delta y = \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{8})) - 0 = \sin(-\frac{\pi}{4})$
Так как синус является нечетной функцией ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), получаем:
$\Delta y = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдем приращение функции при переходе от $x_0 = 0$ к $x_1 = \frac{\pi}{12}$.
$\Delta y = y(x_1) - y(x_0) = \sin(2x_1) - y(0)$
$\Delta y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) - 0 = \sin(\frac{\pi}{6})$
$\Delta y = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

Найдем приращение функции при переходе от $x_0 = 0$ к $x_1 = \frac{\pi}{8}$.
$\Delta y = y(x_1) - y(x_0) = \sin(2x_1) - y(0)$
$\Delta y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) - 0 = \sin(\frac{\pi}{4})$
$\Delta y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдем приращение функции при переходе от $x_0 = 0$ к $x_1 = -\frac{\pi}{12}$.
$\Delta y = y(x_1) - y(x_0) = \sin(2x_1) - y(0)$
$\Delta y = \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{12})) - 0 = \sin(-\frac{\pi}{6})$
Так как синус является нечетной функцией ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), получаем:
$\Delta y = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$