Номер 39.30, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.30. a) $\lim_{x\to -2} \frac{x+2}{x^3+8}$;

б) $\lim_{x\to -1} \frac{1+x^3}{1-x^2}$;

в) $\lim_{x\to 3} \frac{x-3}{x^3-27}$;

г) $\lim_{x\to 4} \frac{16-x^2}{64-x^3}$.

а) $\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x^3 + 8}$

При подстановке предельного значения $x = -2$ в числитель и знаменатель дроби, мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Числитель: $-2 + 2 = 0$.

Знаменатель: $(-2)^3 + 8 = -8 + 8 = 0$.

Для раскрытия этой неопределенности необходимо разложить знаменатель на множители. Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 2$, поэтому:

$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 2^2) = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.

Теперь подставим это выражение обратно в предел:

$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}$

Так как $x$ стремится к -2, но не равен ему ($x \neq -2$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(x + 2)$:

$\lim_{x \to -2} \frac{1}{x^2 - 2x + 4}$

Теперь можно подставить значение $x = -2$ в полученное выражение:

$\frac{1}{(-2)^2 - 2(-2) + 4} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

б) $\lim_{x \to -1} \frac{1 + x^3}{1 - x^2}$

Подстановка $x = -1$ приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$.

Числитель: $1 + (-1)^3 = 1 - 1 = 0$.

Знаменатель: $1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Для числителя используем формулу суммы кубов, а для знаменателя — формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Числитель: $1 + x^3 = (1 + x)(1 - x + x^2)$.

Знаменатель: $1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$.

Подставляем разложения в предел:

$\lim_{x \to -1} \frac{(1 + x)(1 - x + x^2)}{(1 - x)(1 + x)}$

Сокращаем на общий множитель $(1 + x)$, так как $x \neq -1$:

$\lim_{x \to -1} \frac{1 - x + x^2}{1 - x}$

Подставляем $x = -1$ в упрощенное выражение:

$\frac{1 - (-1) + (-1)^2}{1 - (-1)} = \frac{1 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

в) $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^3 - 27}$

При подстановке $x = 3$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Числитель: $3 - 3 = 0$.

Знаменатель: $3^3 - 27 = 27 - 27 = 0$.

Раскроем неопределенность, разложив знаменатель на множители по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

$x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 3^2) = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.

Подставим разложение в предел:

$\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}$

Сокращаем на $(x - 3)$, так как $x \neq 3$:

$\lim_{x \to 3} \frac{1}{x^2 + 3x + 9}$

Теперь подставим $x = 3$:

$\frac{1}{3^2 + 3 \cdot 3 + 9} = \frac{1}{9 + 9 + 9} = \frac{1}{27}$

Ответ: $\frac{1}{27}$

г) $\lim_{x \to 4} \frac{16 - x^2}{64 - x^3}$

Подстановка $x = 4$ дает неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Числитель: $16 - 4^2 = 16 - 16 = 0$.

Знаменатель: $64 - 4^3 = 64 - 64 = 0$.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это разность квадратов, а знаменатель — разность кубов.

Числитель: $16 - x^2 = 4^2 - x^2 = (4 - x)(4 + x)$.

Знаменатель: $64 - x^3 = 4^3 - x^3 = (4 - x)(4^2 + 4x + x^2) = (4 - x)(16 + 4x + x^2)$.

Подставим разложения в предел:

$\lim_{x \to 4} \frac{(4 - x)(4 + x)}{(4 - x)(16 + 4x + x^2)}$

Сокращаем на общий множитель $(4 - x)$, так как $x \neq 4$:

$\lim_{x \to 4} \frac{4 + x}{16 + 4x + x^2}$

Подставляем $x = 4$ в оставшееся выражение:

$\frac{4 + 4}{16 + 4 \cdot 4 + 4^2} = \frac{8}{16 + 16 + 16} = \frac{8}{48}$

Упростим дробь:

$\frac{8}{48} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$