Номер 39.28, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.28. a) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$;

б) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{2 + x}$;

в) $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$;

г) $\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{x^2 - 9}$.

а)

Найдем предел функции $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.

При подстановке предельного значения $x = 1$ в выражение, мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$

Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Теперь подставим разложенный числитель обратно в выражение под знаком предела:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$

Поскольку $x$ стремится к $1$, но не равен $1$ ($x \neq 1$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 1)$:

$\lim_{x \to 1} (x + 1)$

Теперь можно выполнить подстановку $x = 1$ в полученное выражение:

$1 + 1 = 2$

Ответ: $2$

б)

Найдем предел функции $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{2 + x}$.

При подстановке $x = -2$ в выражение, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{(-2)^2 - 4}{2 + (-2)} = \frac{4 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Подставим разложенное выражение в предел:

$\lim_{x \to -2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{2 + x}$

Так как $x \to -2$, то $x \neq -2$. Учитывая, что $x + 2 = 2 + x$, мы можем сократить дробь на $(x + 2)$:

$\lim_{x \to -2} (x - 2)$

Подставляем предельное значение $x = -2$:

$-2 - 2 = -4$

Ответ: $-4$

в)

Найдем предел функции $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$.

При подстановке $x = 5$ в выражение, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{5^2 - 25}{5 - 5} = \frac{25 - 25}{0} = \frac{0}{0}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:

$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$

Подставим разложенное выражение в предел:

$\lim_{x \to 5} \frac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5}$

Так как $x \to 5$, то $x \neq 5$, и мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 5)$:

$\lim_{x \to 5} (x + 5)$

Подставляем предельное значение $x = 5$:

$5 + 5 = 10$

Ответ: $10$

г)

Найдем предел функции $\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{x^2 - 9}$.

При подстановке $x = -3$ в выражение, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{3 + (-3)}{(-3)^2 - 9} = \frac{0}{9 - 9} = \frac{0}{0}$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

Подставим разложенное выражение в предел:

$\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{(x - 3)(x + 3)}$

Так как $x \to -3$, то $x \neq -3$. Учитывая, что $x + 3 = 3 + x$, мы можем сократить дробь на $(x + 3)$:

$\lim_{x \to -3} \frac{1}{x - 3}$

Подставляем предельное значение $x = -3$:

$\frac{1}{-3 - 3} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$