Номер 39.29, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.29. a) $lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1};$

б) $lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{2x^2 - x - 6};$

В) $lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x^2 - 2x - 3};$

Г) $lim_{x \to 9} \frac{x^2 - 11x + 18}{x - 9}.$

а) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+2x-3}{x-1}$

При подстановке предельного значения $x=1$ в числитель и знаменатель дроби возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $1^2+2 \cdot 1 - 3 = 0$ и $1-1=0$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2+2x-3=0$. Его корнями являются $x_1=1$ и $x_2=-3$. Тогда квадратный трехчлен можно представить в виде $x^2+2x-3 = (x-1)(x-(-3)) = (x-1)(x+3)$.

Теперь предел можно переписать и сократить дробь:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+3)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+3)$

После сокращения неопределенность исчезает, и мы можем подставить значение $x=1$:

$1+3=4$

Ответ: 4

б) $\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{2x^2-x-6}$

При подстановке $x=2$ в числитель и знаменатель получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $2-2=0$ и $2(2^2)-2-6 = 2 \cdot 4 - 2 - 6 = 8-8=0$. Разложим на множители знаменатель, решив уравнение $2x^2-x-6=0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1+48=49$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{1+\sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1+7}{4} = 2$ и $x_2 = \frac{1-\sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1-7}{4} = -\frac{3}{2}$.

Тогда знаменатель можно представить в виде $2x^2-x-6 = 2(x-2)(x+\frac{3}{2}) = (x-2)(2x+3)$.

Перепишем предел и выполним сокращение:

$\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(2x+3)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{2x+3}$

Подставляем $x=2$ в полученное выражение:

$\frac{1}{2 \cdot 2+3} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

в) $\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^2-2x-3}$

При подстановке $x=-1$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$, так как $-1+1=0$ и $(-1)^2-2(-1)-3 = 1+2-3=0$. Разложим знаменатель $x^2-2x-3$ на множители. Корнями уравнения $x^2-2x-3=0$ являются $x_1=-1$ и $x_2=3$. Следовательно, $x^2-2x-3 = (x-(-1))(x-3) = (x+1)(x-3)$.

Подставим разложение в предел и сократим дробь:

$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{(x+1)(x-3)} = \lim_{x \to -1} \frac{1}{x-3}$

Теперь подставим $x=-1$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{-1-3} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

г) $\lim_{x \to 9} \frac{x^2-11x+18}{x-9}$

При подстановке $x=9$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$, так как $9^2-11 \cdot 9 + 18 = 81-99+18=0$ и $9-9=0$. Разложим числитель $x^2-11x+18$ на множители. По теореме Виета, сумма корней уравнения $x^2-11x+18=0$ равна 11, а их произведение равно 18. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 9. Таким образом, $x^2-11x+18 = (x-2)(x-9)$.

Перепишем предел с разложенным на множители числителем:

$\lim_{x \to 9} \frac{(x-2)(x-9)}{x-9} = \lim_{x \to 9} (x-2)$

После сокращения подставим $x=9$:

$9-2=7$

Ответ: 7