Номер 39.21, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.21. На рис. 80 изображён график функции $y = f(x)$. Найдите:

a) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$;

б) $\lim_{x \to 0} f(x)$;

в) $\lim_{x \to 3} f(x)$;

г) $\lim_{x \to \infty} f(x)$.

Рис. 80

а) Чтобы найти предел $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, нужно проанализировать поведение графика функции, когда значение аргумента $x$ стремится к минус бесконечности (т.е. уходит далеко влево по оси $Ox$). На представленном графике видно, что при уменьшении $x$ кривая $y=f(x)$ приближается к оси абсцисс, то есть к прямой $y=0$. Таким образом, значение функции стремится к 0.

Ответ: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$.

б) Чтобы найти предел $\lim_{x \to 0} f(x)$, нужно определить, к какому значению стремится функция $f(x)$, когда $x$ приближается к 0. На графике видно, что при $x=0$ функция проходит через точку с ординатой 4. Как при приближении к $x=0$ слева, так и при приближении справа, значения функции на графике стремятся к 4. Функция в этой точке непрерывна.

Ответ: $\lim_{x \to 0} f(x) = 4$.

в) Чтобы найти предел $\lim_{x \to 3} f(x)$, нужно рассмотреть поведение функции в окрестности точки $x=3$. Предел функции в точке — это значение, к которому стремится функция при приближении аргумента к этой точке. На графике в точке $x=3$ имеется разрыв: значение функции в этой точке равно $f(3)=4$ (обозначено сплошной точкой), однако при приближении $x$ к 3 как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ стремятся к 9 (что показано "выколотой", или пустой, точкой на графике в $(3, 9)$). Так как левосторонний и правосторонний пределы совпадают и равны 9, то и предел функции в этой точке равен 9.

Ответ: $\lim_{x \to 3} f(x) = 9$.

г) Чтобы найти предел $\lim_{x \to \infty} f(x)$, нужно проанализировать поведение графика функции, когда значение аргумента $x$ стремится к плюс бесконечности (т.е. уходит далеко вправо по оси $Ox$). Из графика видно, что при увеличении $x$ кривая $y=f(x)$ асимптотически приближается к горизонтальной прямой $y=4$ (показана пунктиром). Это означает, что прямая $y=4$ является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to \infty$.

Ответ: $\lim_{x \to \infty} f(x) = 4$.