Номер 39.14, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.14. a) $\lim_{x\to\infty} \frac{x+1}{x-2}$;

б) $\lim_{x\to\infty} \frac{3x-4}{2x+7}$;

В) $\lim_{x\to\infty} \frac{x-4}{x+3}$;

Г) $\lim_{x\to\infty} \frac{7x+9}{6x-1}$.

а)

Чтобы найти предел $ \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-2} $, мы имеем дело с неопределенностью вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $x$, то есть на $x$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{2}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} $

Поскольку при $ x \to \infty $ выражения $ \frac{1}{x} $ и $ \frac{2}{x} $ стремятся к нулю, мы можем подставить эти значения в предел:

$ \frac{1 + 0}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1 $

Ответ: $1$.

б)

Для нахождения предела $ \lim_{x \to \infty} \frac{3x-4}{2x+7} $ также сталкиваемся с неопределенностью $ \frac{\infty}{\infty} $. Разделим числитель и знаменатель на $x$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{3x-4}{2x+7} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x}{x} - \frac{4}{x}}{\frac{2x}{x} + \frac{7}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{4}{x}}{2 + \frac{7}{x}} $

Так как $ \frac{4}{x} \to 0 $ и $ \frac{7}{x} \to 0 $ при $ x \to \infty $, получаем:

$ \frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2} $

Ответ: $ \frac{3}{2} $.

в)

Находим предел $ \lim_{x \to \infty} \frac{x-4}{x+3} $. Это снова неопределенность вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Делим числитель и знаменатель на $x$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{x-4}{x+3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{4}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}} $

Учитывая, что $ \frac{4}{x} \to 0 $ и $ \frac{3}{x} \to 0 $ при $ x \to \infty $, имеем:

$ \frac{1 - 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1 $

Ответ: $1$.

г)

Для предела $ \lim_{x \to \infty} \frac{7x+9}{6x-1} $ мы имеем неопределенность $ \frac{\infty}{\infty} $. Разделим числитель и знаменатель на $x$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{7x+9}{6x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7x}{x} + \frac{9}{x}}{\frac{6x}{x} - \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{9}{x}}{6 - \frac{1}{x}} $

Поскольку $ \frac{9}{x} \to 0 $ и $ \frac{1}{x} \to 0 $ при $ x \to \infty $, получаем:

$ \frac{7 + 0}{6 - 0} = \frac{7}{6} $

Ответ: $ \frac{7}{6} $.