Номер 39.7, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.7. a) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 5$ и $f(x) > 0$ на $(-\infty; +\infty);$

б) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -3$ и $f(x) \ge 0$ на отрезке $[-7; 3];$

в) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ и $f(x) > 0$ на $[0; +\infty);$

г) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ и $f(x) < 0$ на $(-\infty; +\infty).$

а) Проанализируем условия. Первое условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = 5$ означает, что при достаточно больших значениях $x$ значения функции $f(x)$ сколь угодно близко приближаются к 5. Второе условие $f(x) > 0$ на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$ требует, чтобы функция была строго положительной для любого $x$.

Эти два условия не противоречат друг другу. Если функция стремится к 5, то на некотором луче $(M; +\infty)$ она будет положительной (например, будет находиться в интервале $(4, 6)$). Условие положительности на всей оси можно обеспечить, выбрав подходящую функцию.

Простейшим примером такой функции является постоянная функция $f(x) = 5$.

Проверим выполнение условий для $f(x) = 5$:
1) Предел постоянной функции равен этой же постоянной: $\lim_{x \to \infty} 5 = 5$. Первое условие выполнено.
2) Значение функции равно 5 при любом $x$, а $5 > 0$. Следовательно, $f(x) > 0$ на $(-\infty; +\infty)$. Второе условие выполнено.

Ответ: Да, такая функция существует.

б) Проанализируем условия. Первое условие $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -3$ означает, что при стремлении $x$ к $-\infty$ значения функции приближаются к -3. Из определения предела следует, что для любого $\epsilon > 0$ найдется такое число $N$, что для всех $x < N$ будет выполняться неравенство $|f(x) - (-3)| < \epsilon$. Если взять, например, $\epsilon = 1$, то для $x < N$ значения функции будут находиться в интервале $(-4; -2)$, то есть будут отрицательными.

Второе условие $f(x) \ge 0$ на отрезке $[-7; 3]$ требует, чтобы на этом конкретном отрезке функция была неотрицательной.

Условия не противоречат друг другу, так как они относятся к разным частям области определения функции. Можно подобрать такое $N$ (например, $N = -8$), что интервал $(-\infty; N)$ и отрезок $[-7; 3]$ не пересекаются. Таким образом, функция может быть отрицательной на бесконечности и неотрицательной на заданном отрезке.

Приведем пример такой функции, используя кусочное задание. Для обеспечения непрерывности в точке $x=-7$ можно подобрать коэффициенты соответствующим образом. $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{при } x \ge -7 \\ -3 + 4e^{x+7}, & \text{при } x < -7 \end{cases}$

Проверим выполнение условий для этой функции:
1) Найдем предел при $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (-3 + 4e^{x+7}) = -3 + 4 \cdot 0 = -3$. Первое условие выполнено.
2) На отрезке $[-7; 3]$ функция задается формулой $f(x)=1$. Так как $1 \ge 0$, второе условие также выполнено.

Ответ: Да, такая функция существует.

в) Проанализируем условия. Первое условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ означает, что ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to \infty$. Второе условие $f(x) > 0$ на луче $[0; +\infty)$ означает, что для всех неотрицательных $x$ график функции лежит строго выше оси абсцисс.

Эти условия не противоречат друг другу. Функция может приближаться к нулю, оставаясь при этом положительной. Это означает, что она стремится к своей асимптоте сверху.

В качестве примера можно взять функцию $f(x) = \frac{1}{x+1}$.

Проверим выполнение условий для $f(x) = \frac{1}{x+1}$:
1) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+1} = 0$. Первое условие выполнено.
2) Если $x \in [0; +\infty)$, то $x \ge 0$, следовательно $x+1 \ge 1 > 0$. Тогда и $f(x) = \frac{1}{x+1}$ будет строго больше нуля. Второе условие выполнено.

Ответ: Да, такая функция существует.

г) Проанализируем условия. Первое условие $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ означает, что ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to -\infty$. Второе условие $f(x) < 0$ на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$ требует, чтобы график функции полностью лежал ниже оси абсцисс.

Эти условия не противоречат друг другу. Функция может приближаться к нулю, оставаясь при этом отрицательной. Это означает, что она стремится к своей асимптоте снизу.

В качестве примера можно привести функцию $f(x) = -\frac{1}{x^2+1}$.

Проверим выполнение условий для $f(x) = -\frac{1}{x^2+1}$:
1) $\lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{1}{x^2+1}\right) = 0$, так как при $x \to -\infty$ знаменатель $x^2+1 \to +\infty$. Первое условие выполнено.
2) Для любого действительного числа $x$ выполнено неравенство $x^2 \ge 0$, значит $x^2+1 \ge 1$. Следовательно, дробь $\frac{1}{x^2+1}$ всегда положительна. Тогда $f(x) = -\frac{1}{x^2+1}$ всегда отрицательна. Второе условие выполнено.

Ответ: Да, такая функция существует.